Pós-graduação
  1. Mecânica clássica  1.1. Cinemática Avançada  1.1.1. Generalized coordinate systems  1.1.2. Equações paramétricas de movimento  1.1.3. Referenciais não inerciais e forças fictícias  1.1.4. Formulação covariante do momento  1.1.5. Variável ação-ângulo  1.2. Mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana  1.2.1. Princípio da ação mínima  1.2.2. Equações de Euler-Lagrange  1.2.3. Teorema de Noether e leis de conservação  1.2.4. Velocidade Normalizada  1.2.5. Conversão canônica  1.2.6. Bracket de Poisson e teoria de Hamilton-Jacobi  1.2.7. Caos Hamiltoniano e Integrabilidade  1.3. Mobilidade de corpo rígido  1.3.1. Euler's equations of motion  1.3.2. Momentos principais de inércia  1.3.3. Movimento giroscópico e precessão  1.3.4. Tensor de inércia  1.3.5. Estabilidade da velocidade rotacional  1.4. Dinâmica não linear e caos  1.4.1. Análise de espaço de fase e estabilidade  1.4.2. Seções de Poincaré e teoria de bifurcação  1.4.3. Atractores Estranhos e Fractais  1.4.4. Expoente de Lyapunov  1.4.5. KAM theorem and quasi-periodic motion
  2. Eletromagnetismo  2.1. Eletrodinâmica Avançada  2.1.1. Função de Green e teoria do potencial  2.1.2. Expansão multipolar  2.1.3. Método de carga de imagem  2.1.4. Condições de contorno e teorema de unicidade  2.2. Propagação de ondas eletromagnéticas  2.2.1. Ondas planas em dielétricos e condutores  2.2.2. Waveguides and cavity resonators  2.2.3. Radiation pressure and optical tweezers  2.2.4. Polarização e cálculo de Jones  2.3. Eletrodinâmica relativística  2.3.1. Formulação covariante da eletrodinâmica  2.3.2. Potenciais de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiação de síncrotron e bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo eletromagnético e transformações de Lorentz  2.4. Física de plasma  2.4.1. Magnetohidrodinâmica  2.4.2. Blindagem de Debye e oscilações do plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén e confinamento em tokamak  2.4.4. Instabilidades de plasma e turbulência
  3. Mecânica estatística e termodinâmica  3.1. Termodinâmica Avançada  3.1.1. Transformadas de Legendre e potenciais termodinâmicos  3.1.2. Teorema da Flutuação–Dissipação  3.1.3. Relações interpessoais de Onsager  3.1.4. Critical events and phase transitions  3.2. Mecânica estatística quântica  3.2.1. Teoria de Matriz Densidade e Conjuntos  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transição de fase quântica  3.2.4. Estatísticas de Fermi–Dirac e Bose–Einstein  3.2.5. Funções de partição e ensembles grand canônicos
  4. Mecânica quântica  4.1. Mecânica de ondas avançada  4.1.1. Aproximação WKB  4.1.2. Formulação de integrais de caminho  4.1.3. Oscilador harmônico quântico e estados coerentes  4.2. Momento angular e spin  4.2.1. Spherical Harmonics  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamento spin-órbita  4.3. Teoria do espalhamento quântico  4.3.1. Born approximation  4.3.2. Análise de onda parcial  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. S-matrix theory  4.4. Quantum field theory  4.4.1. Segunda Quantização  4.4.2. Diagramas de Feynman e propagadores  4.4.3. Teoria da Renormalização  4.4.4. Gauge theory and Yang–Mills fields  4.4.5. Quebra espontânea de simetria e o mecanismo de Higgs
  5. Relatividade geral e cosmologia  5.1. Cálculo tensorial e geometria diferencial  5.1.1. Equações de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild e Kerr  5.1.3. Geodésicas e símbolos de Christoffel  5.2. Cosmologia e o Universo  5.2.1. A métrica FLRW e a inflação cósmica  5.2.2. Energia escura e formação de estruturas  5.2.3. Radiação cósmica de fundo em micro-ondas
  6. Física da matéria condensada  6.1. Estrutura de bandas e teoria do transporte  6.1.1. Teorema de Bloch e o modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topologia da superfície de Fermi  6.1.3. Efeito Hall Quântico  6.2. Supercondutividade  6.2.1. Teoria BCS e pares de Cooper  6.2.2. Efeito Meissner e quantização de fluxo  6.2.3. The Josephson Effect and SQUIDs  6.3. Fases topológicas da matéria  6.3.1. Isolantes Topológicos  6.3.2. Fermions de Majorana em fases topológicas da matéria
  7. Física Nuclear e de Partículas  7.1. Cromodinâmica Quântica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks e glúons  7.1.2. Liberdade Assintótica  7.1.3. Confinamento e hadronização  7.2. Além do Modelo Padrão  7.2.1. Teorias de Grande Unificação  7.2.2. Supersimetria e dimensões extras  7.2.3. Oscilações de neutrinos

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Coeficiente de Clebsch–Gordan


Na mecânica quântica, o momento angular desempenha um papel importante, especialmente no estudo de partículas atômicas e subatômicas. Um dos aspectos essenciais para entender o momento angular é a soma dos momentos angulares, o que muitas vezes nos leva aos coeficientes de Clebsch-Gordan. Nomeados em homenagem aos físicos Alfred Clebsch e Paul Gordon, esses coeficientes são importantes na combinação de momentos angulares em sistemas quânticos, como ao considerar o spin de duas partículas. Esta explicação irá explorar o conceito, fornecer exemplos visuais e explicar o cálculo e a importância desses coeficientes.

Compreendendo o momento angular na mecânica quântica

Para entender o coeficiente de Clebsch-Gordan, primeiro precisamos de uma compreensão sólida do momento angular na mecânica quântica. O momento angular na mecânica quântica é quantizado, o que significa que só pode assumir determinados valores discretos. Ele é descrito por dois números quânticos: a magnitude do momento angular, dada por j, e sua projeção ao longo de um eixo escolhido, geralmente o eixo z, dado por m.

O número quântico j pode assumir valores como 0, 1/2, 1, 3/2, etc., enquanto m pode variar de -j a +j em etapas inteiras. Assim, para uma partícula com momento angular j = 1, os valores possíveis de m serão -1, 0 e 1.

Adicionando momento angular

Quando lidamos com sistemas de muitas partículas, cada uma com seu próprio momento angular, muitas vezes precisamos calcular o momento angular total. Essa situação surge em muitas áreas da mecânica quântica, como ao combinar os spins intrínsecos de partículas ou ao interagir com o momento angular orbital em sistemas atômicos.

Para somar momentos angulares, usamos a regra de que se você possui dois momentos angulares, j_1 e j_2, seu momento angular combinado, J, pode assumir valores entre |j_1 - j_2| e j_1 + j_2, em etapas inteiras. O número quântico de projeção M do sistema combinado é simplesmente a soma das projeções: M = m_1 + m_2, onde m_1 e m_2 são os números quânticos de projeção dos momentos angulares individuais.

Por exemplo, se você combinar duas partículas com spin j = 1/2, os valores possíveis do momento angular total J serão 1 e 0.

Introdução ao coeficiente de Clebsch-Gordan

Os coeficientes de Clebsch-Gordan são úteis quando você deseja expressar os estados combinados de momento angular em termos dos estados individuais de momento angular. Especificamente, eles fornecem os pesos necessários para expressar um estado de momento angular total particular como uma combinação linear dos estados de produto dos movimentos individuais.

Representação visual

Considere uma representação visual da combinação de dois momentos angulares, onde j_1 = 1 e j_2 = 1/2:

j = 3/2 j = 1/2 j = 1/2

Fórmulas matemáticas

A fórmula geral para combinar dois estados de momento angular é expressa usando os coeficientes de Clebsch–Gordan da seguinte forma:

    |j_1, j_2; j, m⟩ = ∑ |j_1, m_1; j_2, m_2⟩

Aqui, |j_1, j_2; J, M⟩ é o estado combinado de momento angular, e |j_1, m_1; j_2, m_2⟩ são os estados de momento angular individuais. Os coeficientes de Clebsch-Gordan <j_1, j_2; m_1, m_2 | J, M> são fatores numéricos que nos dizem como ponderar os estados de produto para produzir o estado total de momento angular.

Exemplos de coeficientes de Clebsch–Gordan

Vamos analisar um exemplo mais explícito. Suponha que você tenha duas partículas, uma com j_1 = 1/2 e a outra com j_2 = 1/2. Os valores possíveis do momento angular total J são 1 e 0.

Para J = 1, temos:

    |1, 1⟩ = |+1/2⟩|+1/2⟩
    |1, 0⟩ = (|+1/2⟩|-1/2⟩ + |-1/2⟩|+1/2⟩) / √2
    |1, -1⟩ = |-1/2⟩|-1/2⟩

Para J = 0, temos:

    |0, 0⟩ = (|+1/2⟩|-1/2⟩ - |-1/2⟩|+1/2⟩) / √2

Aqui, o coeficiente de cada termo antes dos kets representa o coeficiente de Clebsch–Gordan para esse termo específico. Por exemplo, a posição |1, 0⟩ é uma combinação simétrica de |+1/2⟩|-1/2⟩ e |-1/2⟩|+1/2⟩ com pesos iguais, então o coeficiente de Clebsch–Gordan é 1/√2.

Propriedades do coeficiente de Clebsch–Gordan

  • Os coeficientes de Clebsch–Gordan são números reais, devido à natureza real dos operadores de momento angular.
  • Sua magnitude é limitada entre 0 e 1, dando uma noção de amplitude de probabilidade.
  • Ortogonalidade: Diferentes combinações de m_1 e m_2 para o mesmo total J são ortogonais.

Exemplo de ortogonalidade

Para ortogonalidade, se considerarmos dois estados |J, M⟩ e |J', M'⟩ que têm momenta totais ou projeções diferentes, então seu produto interno deve ser zero.

    ⟨J, M|J, M'⟩ = 0 se M ≠ M'

Encontrando o coeficiente de Clebsch-Gordan

Embora tabelas e software estejam disponíveis para encontrar facilmente os coeficientes de Clebsch-Gordan, calculá-los manualmente ajuda a entender profundamente sua natureza. Propriedades recursivas, considerações de simetria e condições de normalização são aplicadas em sua derivação.

Estratégia recursiva

Um método padrão para calcular os coeficientes de Clebsch-Gordan envolve o uso de fórmulas iterativas derivadas da álgebra do momento angular. A ideia principal é começar com situações em que os cálculos são simples e depois avançar para situações mais complicadas.

    √((J + M)(J - M + 1)) * ⟨j_1, m_1; j_2, m_2|J, M – 1⟩ +
    √((j - m)(j + m + 1)) * ⟨j_1, m_1; j_2, m_2|J, M + 1⟩ = 
    m_1 * ⟨j_1, m_1; j_2, m_2|J, M⟩

Aplicações na física

Em aplicações práticas, os coeficientes de Clebsch–Gordan simplificam a tarefa de avaliar elementos de matriz onde os sistemas estão acoplados. Por exemplo, eles aparecem em cálculos de probabilidades de transição quando partículas com spin interagem com radiação eletromagnética, como em transições orbitais atômicas ou em experimentos de espalhamento de fótons.

Exemplos em física de partículas

Na física de partículas, conhecer os coeficientes de Clebsch-Gordan é importante para calcular amplitudes onde partículas, como quarks, interagem e formam partículas compostas como prótons e nêutrons. As regras de combinação ajudam a prever a mistura de estados de sabor e cor de acordo com a cromodinâmica quântica.

Considere a hadronização, onde quarks se combinam para formar hádrons: aplicando os coeficientes de Clebsch-Gordan, pode-se prever quais combinações de spins e cores de quarks são soluções viáveis no cenário de confinamento.

Conclusão

Os coeficientes de Clebsch-Gordan fornecem um formalismo matemático essencial para lidar com as complexidades da quanta que lidam com momento angular. Como base de sistemas quânticos mecânicos que combinam spin, seu papel se estende desde construções teóricas até previsões experimentais onde impactam diretamente medidas e interpretações. Compreender esses coeficientes, sua derivação e aplicação proporciona uma melhor compreensão não apenas da mecânica quântica, mas também das teorias físicas mais amplas em um nível fundamental.


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