Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

Posgrado → Quantum mechanics → Momento angular y espín ↓


Teorema de Wigner–Eckart


El teorema de Wigner–Eckart es un concepto esencial en el estudio de la mecánica cuántica, especialmente para entender las propiedades del momento angular y el espín. Facilita el cálculo de elementos de matriz de operadores vectoriales en sistemas cuánticos, haciéndolo particularmente útil en la comprensión de simetrías cuánticas.

Introducción

El momento angular juega un papel importante en la mecánica cuántica, al igual que en la mecánica clásica. Sin embargo, en la mecánica cuántica, el momento angular tiene propiedades únicas que son integrales a la estructura fundamental de la teoría. Los estados de los sistemas cuánticos pueden clasificarse en función de sus números cuánticos de momento angular. Esta estructura da lugar a la representación de operadores y funciones de onda en términos de estos números cuánticos.

El teorema de Wigner-Eckart es un resultado fascinante porque simplifica el cálculo de elementos de matriz entre estados cuánticos utilizando simetrías subyacentes en el momento angular. Muestra que los elementos de matriz de operadores tensoriales esféricos pueden dividirse en una parte geométrica dependiente solo de los coeficientes de Clebsch-Gordan y una parte dinámica, que es independiente de los números cuánticos magnéticos.

Momento angular en la mecánica cuántica

En la mecánica cuántica, los operadores de momento angular son fundamentales y obedecen las relaciones de intercambio:

[J_i, J_j] = iħε_ijk J_k

donde i, j, k son coordenadas cartesianas y ε_ijk es el símbolo de Levi-Civita. Esto forma la base para entender las operaciones de simetría en la teoría cuántica.

Los operadores de momento angular cuántico incluyen:

  • Momento Angular Total, J^2: La medida total del momento angular.
  • Operadores de proyección, J_z: Estos proyectan el momento angular total en un eje específico, usualmente tomado como el eje z.

Los autoestados de estos operadores se etiquetan por los números cuánticos j y m. Donde j es el número cuántico de momento angular total y m es el número cuántico magnético:

J^2 |j, m⟩ = ħ^2 j(j+1) |j, m⟩
J_z |j, m⟩ = ħm |j, m⟩

Representación de operadores

Los operadores en sistemas cuánticos también se pueden expresar usando estados de momento angular. Consideremos un operador tensorial esférico T^k_q. Se caracteriza por su rango k y componente q. Estos operadores tensoriales pueden manipular números cuánticos de manera controlada.

Los operadores tensoriales esféricos se transforman bajo rotaciones de manera similar a los estados de momento angular, proporcionando un puente entre operaciones algebraicas abstractas y transformaciones físicas. Sus elementos de matriz, dependiendo de los estados de momento angular |j, m⟩ están dados por:

⟨j', m'| T^k_q |j, m⟩

Teorema de Wigner–Eckart

El teorema de Wigner–Eckart simplifica el cálculo de estos elementos de matriz. Establece que el elemento de matriz del operador tensorial esférico puede factorizarse de la siguiente manera:

⟨j', m'| T^k_q |j, m⟩ = ⟨j'|| T^k ||j⟩ * ⟨j', m'| k, q; j, m⟩

Dónde:

  • ⟨j'|| T^k ||j⟩ se conoce como el "elemento de matriz reducido" que no depende del número cuántico magnético m o m'.
  • ⟨j', m'| k, q; j, m⟩ es un coeficiente de Clebsch–Gordan que codifica información geométrica relacionada con el acoplamiento del momento angular.

Esta descomposición es poderosa porque separa la parte dinámica de la interacción (elementos de matriz reducidos) de las dependencias geométricas (expresadas mediante coeficientes de Clebsch-Gordan). Simplifica los cálculos complejos al separar completamente las partes dependientes de la simetría.

Representación visual

J_Z j_x J_Y

Esta visualización muestra los diferentes componentes del momento angular en diferentes orientaciones espaciales. El teorema de Wigner–Eckart ayuda a entender las transiciones entre estos estados al clarificar sus propiedades geométricas y de simetría en la matriz de transformación.

Cálculo de ejemplo

Consideremos un ejemplo práctico donde calculamos el elemento de matriz para el operador tensorial esférico de rango-1 T^1_q entre estados de un sistema de espín-1/2, |1/2, m⟩. Si T^1_q representa un operador de momento dipolar, entonces según el teorema de Wigner-Eckart, el elemento de matriz es:

⟨1/2, m'| T^1_q |1/2, m⟩ = ⟨1/2|| T^1 ||1/2⟩ * ⟨1/2, m'| 1, q; 1/2, m⟩

El factor del lado derecho ⟨1/2, m'| 1, q; 1/2, m⟩ es un coeficiente de Clebsch–Gordan que se puede consultar en tablas o calcular en base al momento angular relativo.

Importancia y aplicaciones

El teorema de Wigner–Eckart es extremadamente importante en áreas donde la simetría y el momento angular juegan un papel importante. Estos incluyen:

  • Física atómica: Simplifica el cálculo de probabilidades de transición y reglas de selección.
  • Física nuclear: Ayuda a entender la descomposición nuclear y los fenómenos de resonancia.
  • Física de partículas: Útil para cálculos en teoría cuántica de campos donde las simetrías determinan interacciones.

Conclusión

El teorema de Wigner-Eckart se erige como una herramienta poderosa en el arsenal del físico, simplificando el complejo álgebra asociado con el acoplamiento del momento angular en la mecánica cuántica. Al separar los aspectos geométricos mediante coeficientes de Clebsch-Gordan de las interacciones dinámicas codificadas en elementos de matriz reducidos, permite cálculos más intuitivos y una mejor comprensión de las bases simétricas de los sistemas físicos. Entender el teorema de Wigner-Eckart equipa a investigadores y estudiantes con profundos conocimientos sobre la dinámica de rotación de los estados cuánticos, expandiendo así los horizontes de la exploración y aplicación de la teoría cuántica.


Posgrado → 4.2.3


U
username
0%
completado en Posgrado

← Anterior (4.2.2)
Coeficiente de Clebsch–Gordan
Siguiente (4.2.4) →
Acoplamiento espín-órbita

Comentarios 



Teorema de Wigner–Eckart

https://www.physicsflow.com/g/4.2.3?pfal=es