Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Momento angular y espín


La mecánica cuántica está llena de conceptos fascinantes que son diferentes de la mecánica clásica. Dos fenómenos importantes en este campo son el momento angular y el espín. Estos conceptos son esenciales para comprender el comportamiento de las partículas a nivel cuántico.

Momento angular en mecánica cuántica

Tradicionalmente, en la mecánica clásica, el momento angular es una medida de la cantidad de rotación de un objeto, teniendo en cuenta su masa, tamaño y velocidad. Está dado por la fórmula:

L = r times p

Aquí, L representa el momento angular, r es el vector de posición y p es el momento lineal.

Momento angular cuántico

En la mecánica cuántica, el momento angular no aparece como un valor continuo. En su lugar, el momento angular está cuantizado, lo que significa que solo puede tomar valores discretos específicos. La descripción del momento angular cuántico requiere el uso de números cuánticos y operadores.

Operadores en mecánica cuántica

Los operadores son objetos matemáticos en mecánica cuántica utilizados para predecir el valor de una cantidad física. El operador de momento angular se denota generalmente por hat{L} y tiene diferentes componentes: hat{L_x}, hat{L_y} y hat{L_z}.

Los operadores de momento angular en la mecánica cuántica pueden escribirse como:

hat{L_x} = -ihbar left(y frac{partial}{partial z} - z frac{partial}{partial y}right)
hat{L_y} = -ihbar left(z frac{partial}{partial x} - x frac{partial}{partial z}right)
hat{L_z} = -ihbar left(x frac{partial}{partial y} - y frac{partial}{partial x}right)

Aquí, hbar es la constante de Planck reducida, un parámetro esencial en la mecánica cuántica. Los sistemas cuánticos pueden describirse mediante funciones de onda utilizando operadores, que a menudo se denotan con la letra griega psi (psi).

Números cuánticos

El momento angular en un sistema cuántico se describe mediante números cuánticos, que son valores utilizados para describir los niveles de energía y propiedades de los electrones en átomos. El número cuántico principal (n), el número cuántico azimutal o angular (l), el número cuántico magnético (m_l) y el número cuántico de espín (m_s) constituyen un conjunto completo de números cuánticos para un estado cuántico dado.

El número cuántico azimutal l determina la forma del orbital y está relacionado con el momento angular del electrón. Para cualquier electrón, l puede tomar valores enteros desde 0 hasta n-1.

Ejemplo visual: números cuánticos

LZ Laye

En la representación visual anterior, los componentes del momento angular de una partícula pueden distribuirse a lo largo de diferentes ejes. En el caso más simple, las mediciones a lo largo de un único eje suelen ser una elección preferida en la mecánica cuántica.

El valor del número cuántico magnético m_l está relacionado con la orientación del orbital y puede variar desde -l hasta +l.

Espín en mecánica cuántica

El espín es una propiedad cuántica única de las partículas. Mientras que el momento angular está relacionado con la rotación en el espacio, el espín es una forma intrínseca de momento angular que no tiene análogo clásico.

Espín como momento angular intrínseco

El espín es intrínseco a las partículas y no depende del movimiento de la partícula en el espacio. Cada partícula elemental tiene un "espín" específico que se conserva en las interacciones.

Número cuántico de espín

Cada partícula tiene un número cuántico de espín asociado que puede ser un múltiplo entero o medio entero de hbar. Por ejemplo, los electrones tienen un número cuántico de espín s = 1/2, y sus componentes de espín, conocidos como Spin-up y Spin-down, toman los valores +1/2 o -1/2.

Ejemplo visual: espín del electrón

Spin-up o +1/2

En la ilustración anterior, la flecha de espín muestra la posible dirección del espín de un electrón que lleva a niveles de energía cuantizados.

Comprender el espín es importante para explicar muchos fenómenos cuánticos, como el comportamiento de las partículas en un campo magnético.

Principio de exclusión de Pauli

El principio de exclusión de Pauli establece que no hay dos fermiones (una clase de partículas que incluye a los electrones) que puedan ocupar el mismo estado cuántico simultáneamente. Este principio explica por qué los electrones en un átomo ocupan diferentes orbitales y por qué los metales muestran su comportamiento complejo.

Sistemas cuánticos con espín

La mecánica cuántica a menudo trata con sistemas de múltiples partículas. El espín y el momento angular de cada partícula afectan las propiedades del sistema completo. Las observaciones de estas interacciones llevaron a descubrimientos en estadísticas cuánticas, como las estadísticas de Fermi-Dirac para fermiones y las estadísticas de Bose-Einstein para bosones.

Ejemplo visual: espín de partículas

Partícula A: espín arriba Partícula B: espín abajo

Las dos partículas representadas aquí tienen diferentes estados de espín que les hacen obedecer diferentes reglas estadísticas cuánticas.

Interacción entre momento angular y espín

El momento angular y el espín son propiedades entrelazadas que la mecánica cuántica unifica de una manera única. Efectos como el acoplamiento espín-órbita, donde el espín de un electrón interactúa con su momento angular orbital, ayudan a explicar fenómenos intrigantes como la estructura fina de las líneas espectrales.

Acoplamiento espín–órbita

La interacción espín-órbita es un efecto relativista que ocurre cuando un electrón pasa a través del campo eléctrico del núcleo. Este movimiento crea un campo magnético que interactúa con el espín del electrón, causando correcciones de energía en el sistema cuántico. Este acoplamiento modifica los espectros atómicos, creando niveles de energía complejos a menudo llamados microestructura.

H_{SO} = frac{1}{2m^2c^2} frac{1}{r} frac{dV}{dr} vec{L} cdot vec{S}

Aquí, H_{SO} denota el hamiltoniano espín-órbita, m es la masa del electrón, c es la velocidad de la luz, V es el potencial eléctrico, vec{L} es el momento angular orbital, y vec{S} es el momento angular de espín.

Consecuencias del acoplamiento espín–órbita

El acoplamiento espín-órbita en átomos provoca la separación de líneas atómicas observada en el espectro de emisión. Por ejemplo, el desdoblamiento doble en metales alcalinos como el sodio y el potasio se debe a este acoplamiento.

Aplicaciones del momento angular cuántico y el espín

El momento angular cuántico y el espín encuentran aplicaciones en la tecnología moderna y en esfuerzos científicos. Comprender estos principios hace posibles los siguientes avances:

  • Máquinas de resonancia magnética (MRI): Utilizan el espín de los protones en los tejidos humanos para tomar imágenes detalladas.
  • Computación cuántica: Usa el espín de partículas para crear bits cuánticos (qubits).
  • Ciencia de materiales: Las tecnologías basadas en espín en electrónica se conocen como espintrónica.

Espín en computación cuántica

El campo de la computación cuántica depende en gran medida de la comprensión del espín en los sistemas cuánticos. Los qubits aprovechan la superposición y los estados de espín, permitiendo cálculos mucho más allá de las capacidades clásicas.

Conclusión

El momento angular y el espín son fundamentales para el ámbito cuántico, caracterizados por propiedades intrínsecas que determinan el comportamiento de partículas microscópicas. Estos conceptos siguen siendo centrales en la investigación, lo que lleva a avances en tecnología, teoría cuántica y una mejor comprensión del universo.

Esta exploración del momento angular y el espín destaca el papel crucial de estas propiedades en la mecánica cuántica y sus profundas implicaciones en muchas áreas de la ciencia y la tecnología.


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