Pós-graduação
  1. Mecânica clássica  1.1. Cinemática Avançada  1.1.1. Generalized coordinate systems  1.1.2. Equações paramétricas de movimento  1.1.3. Referenciais não inerciais e forças fictícias  1.1.4. Formulação covariante do momento  1.1.5. Variável ação-ângulo  1.2. Mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana  1.2.1. Princípio da ação mínima  1.2.2. Equações de Euler-Lagrange  1.2.3. Teorema de Noether e leis de conservação  1.2.4. Velocidade Normalizada  1.2.5. Conversão canônica  1.2.6. Bracket de Poisson e teoria de Hamilton-Jacobi  1.2.7. Caos Hamiltoniano e Integrabilidade  1.3. Mobilidade de corpo rígido  1.3.1. Euler's equations of motion  1.3.2. Momentos principais de inércia  1.3.3. Movimento giroscópico e precessão  1.3.4. Tensor de inércia  1.3.5. Estabilidade da velocidade rotacional  1.4. Dinâmica não linear e caos  1.4.1. Análise de espaço de fase e estabilidade  1.4.2. Seções de Poincaré e teoria de bifurcação  1.4.3. Atractores Estranhos e Fractais  1.4.4. Expoente de Lyapunov  1.4.5. KAM theorem and quasi-periodic motion
  2. Eletromagnetismo  2.1. Eletrodinâmica Avançada  2.1.1. Função de Green e teoria do potencial  2.1.2. Expansão multipolar  2.1.3. Método de carga de imagem  2.1.4. Condições de contorno e teorema de unicidade  2.2. Propagação de ondas eletromagnéticas  2.2.1. Ondas planas em dielétricos e condutores  2.2.2. Waveguides and cavity resonators  2.2.3. Radiation pressure and optical tweezers  2.2.4. Polarização e cálculo de Jones  2.3. Eletrodinâmica relativística  2.3.1. Formulação covariante da eletrodinâmica  2.3.2. Potenciais de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiação de síncrotron e bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo eletromagnético e transformações de Lorentz  2.4. Física de plasma  2.4.1. Magnetohidrodinâmica  2.4.2. Blindagem de Debye e oscilações do plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén e confinamento em tokamak  2.4.4. Instabilidades de plasma e turbulência
  3. Mecânica estatística e termodinâmica  3.1. Termodinâmica Avançada  3.1.1. Transformadas de Legendre e potenciais termodinâmicos  3.1.2. Teorema da Flutuação–Dissipação  3.1.3. Relações interpessoais de Onsager  3.1.4. Critical events and phase transitions  3.2. Mecânica estatística quântica  3.2.1. Teoria de Matriz Densidade e Conjuntos  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transição de fase quântica  3.2.4. Estatísticas de Fermi–Dirac e Bose–Einstein  3.2.5. Funções de partição e ensembles grand canônicos
  4. Mecânica quântica  4.1. Mecânica de ondas avançada  4.1.1. Aproximação WKB  4.1.2. Formulação de integrais de caminho  4.1.3. Oscilador harmônico quântico e estados coerentes  4.2. Momento angular e spin  4.2.1. Spherical Harmonics  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamento spin-órbita  4.3. Teoria do espalhamento quântico  4.3.1. Born approximation  4.3.2. Análise de onda parcial  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. S-matrix theory  4.4. Quantum field theory  4.4.1. Segunda Quantização  4.4.2. Diagramas de Feynman e propagadores  4.4.3. Teoria da Renormalização  4.4.4. Gauge theory and Yang–Mills fields  4.4.5. Quebra espontânea de simetria e o mecanismo de Higgs
  5. Relatividade geral e cosmologia  5.1. Cálculo tensorial e geometria diferencial  5.1.1. Equações de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild e Kerr  5.1.3. Geodésicas e símbolos de Christoffel  5.2. Cosmologia e o Universo  5.2.1. A métrica FLRW e a inflação cósmica  5.2.2. Energia escura e formação de estruturas  5.2.3. Radiação cósmica de fundo em micro-ondas
  6. Física da matéria condensada  6.1. Estrutura de bandas e teoria do transporte  6.1.1. Teorema de Bloch e o modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topologia da superfície de Fermi  6.1.3. Efeito Hall Quântico  6.2. Supercondutividade  6.2.1. Teoria BCS e pares de Cooper  6.2.2. Efeito Meissner e quantização de fluxo  6.2.3. The Josephson Effect and SQUIDs  6.3. Fases topológicas da matéria  6.3.1. Isolantes Topológicos  6.3.2. Fermions de Majorana em fases topológicas da matéria
  7. Física Nuclear e de Partículas  7.1. Cromodinâmica Quântica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks e glúons  7.1.2. Liberdade Assintótica  7.1.3. Confinamento e hadronização  7.2. Além do Modelo Padrão  7.2.1. Teorias de Grande Unificação  7.2.2. Supersimetria e dimensões extras  7.2.3. Oscilações de neutrinos

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Momento angular e spin


A mecânica quântica está cheia de conceitos fascinantes que são diferentes da mecânica clássica. Dois fenômenos importantes neste campo são o momento angular e o spin. Esses conceitos são essenciais para entender o comportamento das partículas no nível quântico.

Momento angular em mecânica quântica

Tradicionalmente, na mecânica clássica, o momento angular é uma medida da quantidade de rotação de um objeto, levando em conta sua massa, tamanho e velocidade. É dado pela fórmula:

L = r times p

Aqui, L representa o momento angular, r é o vetor posição, e p é o momento linear.

Momento angular quântico

Na mecânica quântica, o momento angular não aparece como um valor contínuo. Em vez disso, o momento angular é quantizado, ou seja, só pode assumir valores discretos específicos. A descrição do momento angular quântico requer o uso de números quânticos e operadores.

Operadores em mecânica quântica

Operadores são objetos matemáticos na mecânica quântica usados para prever o valor de uma quantidade física. O operador de momento angular é geralmente denotado por hat{L} e possui diferentes componentes: hat{L_x}, hat{L_y}, e hat{L_z}.

Os operadores de momento angular na mecânica quântica podem ser escritos como:

hat{L_x} = -ihbar left(y frac{partial}{partial z} - z frac{partial}{partial y}right)
hat{L_y} = -ihbar left(z frac{partial}{partial x} - x frac{partial}{partial z}right)
hat{L_z} = -ihbar left(x frac{partial}{partial y} - y frac{partial}{partial x}right)

Aqui, hbar é a constante de Planck reduzida, um parâmetro essencial na mecânica quântica. Sistemas quânticos podem ser descritos por funções de onda usando operadores, frequentemente denotados pela letra grega psi (psi).

Números quânticos

O momento angular em um sistema quântico é descrito por números quânticos, que são valores usados para descrever os níveis de energia e propriedades dos elétrons nos átomos. O número quântico principal (n), o número quântico azimutal ou angular (l), o número quântico magnético (m_l) e o número quântico de spin (m_s) compõem um conjunto completo de números quânticos para um determinado estado quântico.

O número quântico azimutal l determina a forma do orbital e está relacionado ao momento angular do elétron. Para qualquer elétron, l pode assumir valores inteiros de 0 a n-1.

Exemplo visual: números quânticos

LZ Laye

Na representação visual acima, os componentes do momento angular de uma partícula podem ser distribuídos ao longo de diferentes eixos. No caso mais simples, medições ao longo de um único eixo são geralmente uma escolha preferida na mecânica quântica.

O valor do número quântico magnético m_l está relacionado à orientação do orbital e pode variar de -l a +l.

Spin em mecânica quântica

O spin é uma propriedade quântica única das partículas. Enquanto o momento angular está relacionado à rotação no espaço, o spin é uma forma intrínseca de momento angular que não possui análogo clássico.

Spin como momento angular intrínseco

O spin é intrínseco às partículas e não depende do movimento da partícula no espaço. Cada partícula elementar possui um "spin" específico que é conservado nas interações.

Número quântico de spin

Cada partícula tem um número quântico de spin associado, que pode ser um seminteiro ou um múltiplo inteiro de hbar. Por exemplo, elétrons têm um número quântico de spin s = 1/2, e seus componentes de spin, conhecidos como Spin-up e Spin-down, assumem os valores +1/2 ou -1/2.

Exemplo visual: spin do elétron

Spin-up ou +1/2

Na ilustração acima, a seta de spin mostra a possível direção do spin de um elétron levando a níveis de energia quantizados.

Entender o spin é importante para explicar muitos fenômenos quânticos, como o comportamento das partículas em um campo magnético.

Princípio de exclusão de Pauli

O princípio de exclusão de Pauli afirma que dois férmions (uma classe de partículas que inclui os elétrons) não podem ocupar o mesmo estado quântico simultaneamente. Este princípio explica por que os elétrons em um átomo ocupam orbitais diferentes e por que os metais apresentam seu comportamento complexo.

Sistemas quânticos com spin

A mecânica quântica frequentemente lida com sistemas de múltiplas partículas. O spin e o momento angular de cada partícula afetam as propriedades do sistema como um todo. Observações dessas interações levaram a descobertas em estatísticas quânticas, como estatísticas de Fermi-Dirac para férmions e estatísticas de Bose-Einstein para bósons.

Exemplo visual: spin de partículas

Partícula A: spin para cima Partícula B: spin para baixo

As duas partículas mostradas aqui possuem estados de spin diferentes, o que as leva a obedecer a diferentes regras estatísticas quânticas.

Interação entre momento angular e spin

O momento angular e o spin são propriedades entrelaçadas que a mecânica quântica unifica de uma maneira única. Efeitos como o acoplamento spin-órbita, onde o spin de um elétron interage com seu momento angular orbital, ajudam a explicar fenômenos intrigantes, como a estrutura fina das linhas espectrais.

Acoplamento spin-órbita

A interação spin-órbita é um efeito relativístico que ocorre quando um elétron passa pelo campo elétrico do núcleo. Este movimento cria um campo magnético que interage com o spin do elétron, causando correções de energia no sistema quântico. Este acoplamento modifica os espectros atômicos, criando níveis de energia complexos frequentemente chamados de microestrutura.

H_{SO} = frac{1}{2m^2c^2} frac{1}{r} frac{dV}{dr} vec{L} cdot vec{S}

Aqui, H_{SO} denota o hamiltoniano de spin-órbita, m é a massa do elétron, c é a velocidade da luz, V é o potencial elétrico, vec{L} é o momento angular orbital, e vec{S} é o momento angular de spin.

Consequências do acoplamento spin-órbita

O acoplamento spin-órbita em átomos causa a divisão das linhas atômicas vistas no espectro de emissão. Por exemplo, a divisão de duplo em metais alcalinos, como sódio e potássio, é devido a este acoplamento.

Aplicações do momento angular quântico e do spin

O momento angular quântico e o spin encontram aplicações na tecnologia moderna e nos empreendimentos científicos. Compreender esses princípios possibilita os seguintes avanços:

  • Máquinas de ressonância magnética (MRI): Usam o spin dos prótons nos tecidos humanos para obter imagens detalhadas.
  • Computação quântica: Usa o spin das partículas para criar bits quânticos (qubits).
  • Ciência dos materiais: Tecnologias baseadas em spin em eletrônica são conhecidas como spintrônica.

Spin na computação quântica

O campo da computação quântica depende fortemente do entendimento do spin em sistemas quânticos. Qubits aproveitam a superposição e os estados de spin, permitindo cálculos muito além das capacidades clássicas.

Conclusão

O momento angular e o spin são fundamentais no domínio quântico, caracterizados por propriedades intrínsecas que determinam o comportamento de partículas microscópicas. Esses conceitos permanecem centrais na pesquisa, levando a avanços na tecnologia, teoria quântica e uma melhor compreensão do universo.

Esta exploração do momento angular e do spin destaca o papel crucial dessas propriedades na mecânica quântica e suas profundas implicações em muitas áreas da ciência e da tecnologia.


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Momento angular e spin

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