Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Aproximación de Born


La aproximación de Born es un concepto esencial en la teoría de dispersión cuántica, que es una parte de la mecánica cuántica. Permite a los físicos analizar cómo partículas como electrones, fotones o neutrones se dispersan cuando encuentran barreras potenciales u otras partículas. Esta aproximación es aplicable no solo en física, sino también en campos como la química y la ciencia de materiales.

Para entender la aproximación de Born, primero debemos estar familiarizados con los conceptos básicos de la dispersión cuántica. La teoría de dispersión trata sobre cómo las partículas, que pueden considerarse como paquetes de ondas, interactúan y se dispersan de los campos potenciales. A un nivel básico, el comportamiento cuántico de las partículas está gobernado por la ecuación de Schrödinger:

iħ ∂ψ/∂t = Hψ

Aquí, i es la unidad imaginaria, ħ es la constante de Planck reducida, ψ es la función de onda que describe la amplitud de probabilidad de la posición de la partícula, t es el tiempo, y H es el operador hamiltoniano del sistema.

Dispersión de un potencial

En mecánica cuántica, cuando consideramos la dispersión de una partícula por un potencial V(r), a menudo resolvemos el problema considerando la solución en estado estacionario de la ecuación de Schrödinger:

(H₀ + V)ψ = Eψ

Donde:

  • H₀ es el hamiltoniano no afectado.
  • V es el potencial que causa la dispersión.
  • E es el valor propio de la energía.

La parte no afectada H₀ describe la partícula libre, y su solución, la onda plana, está dada por:

ψ₀(r) = e^(ik·r)

donde k es el vector de onda asociado con el momento p de la partícula, por p = ħk.

Cuando se introduce el potencial V, perturba el sistema y necesitamos una nueva solución de la función de onda ψ que lo tenga en cuenta.

Entendiendo la aproximación de Born

La aproximación de Born es un método para resolver aproximadamente la ecuación de Schrödinger cuando el potencial V es débil. Asume que la onda dispersada es mucho más pequeña que la onda incidente, lo que nos permite tratar a V como una pequeña perturbación.

La idea central es expresar la función de onda total ψ(r) como:

ψ(r) = ψ₀(r) + ψₑ(r)

Aquí, ψ₀(r) es la función de onda incidente, y ψₑ(r) representa la parte dispersada de la función de onda.

La aproximación de Born ofrece una solución de primer orden para la función de onda dispersada ψₑ(r) usando la ecuación de Lippmann–Schwinger:

ψ(r) = ψ₀(r) + ∫ G(r, r')V(r')ψ(r') dr'

donde G(r, r') es la función de Green que describe la respuesta del sistema a una fuente puntual. En la aproximación de Born, reemplazamos ψ(r') con ψ₀(r') en la integral, lo que simplifica el cálculo.

Determinación matemática

Echemos un vistazo más profundo al aspecto matemático de la aproximación de Born. La motivación surge porque resolver la ecuación completa de dispersión es un desafío al tratar con probabilidades complejas.

La función de Green en tres dimensiones está dada por:

G(r, r') = -(1/4π) e^(ik|r - r'|)/|r - r'|

La aproximación para el término de potencial se obtiene insertando ψ(r') ≈ ψ₀(r'):

ψ(r) ≈ ψ₀(r) - (1/4π) ∫ e^(ik|r - r'|)/|r - r'| V(r') e^(ik·r') dr'

Esta es la expresión elemental para la aproximación de Born original. La onda dispersada ahora es una integración sobre el potencial, modificada por un factor de fase dependiendo de la onda incidente.

Ilustración gráfica

Para aclarar esto, consideremos un diagrama simple que muestra un campo potencial interactuando con una onda incidente.

Onda incidente Potencial V(r) Onda dispersada

En la figura, la línea a la izquierda representa el frente de onda incidente, que interactúa con el potencial representado por el círculo en el centro. Después de la interacción, la onda se dispersa, creando nuevos frentes a la derecha. Esta visualización nos ayuda a entender cómo el potencial afecta la función de onda.

Primera aproximación de Born: un enfoque simplificado

La aproximación de Born es particularmente efectiva para problemas donde el potencial V(r) es pequeño. En este caso, una aproximación de primer orden de la onda dispersada es suficiente para describir su comportamiento. Asume que solo los términos de primer orden en V(r) contribuyen significativamente a la solución.

Cuando aplicamos la aproximación de Born, la amplitud de dispersión f(k f, k i) se expresa como:

f(k f, k i) = - (m/2πħ²) ∫ e^(i(k f - k i)·r') V(r') dr'

Aquí:

  • k i y k f son los vectores de onda inicial y final, respectivamente.
  • m es la masa de la partícula.
  • ħ es la constante de Planck disminuida.

Note que la expresión es la transformada de Fourier del potencial V(r), que muestra cómo los diferentes componentes de momento son dispersados por el potencial.

Esta simplicidad es una de las razones por las cuales la primera aproximación de Born es popular en aplicaciones prácticas, como en la física atómica y molecular, donde los potenciales de interacción a menudo pueden tratarse como perturbaciones débiles.

Limitaciones y validez de la aproximación de Born

La principal limitación de la aproximación de Born es su supuesto de dispersión débil. En general, se espera que el método dé resultados precisos cuando:

  • V(r) es pequeño en comparación con la energía cinética de la partícula incidente.
  • La longitud de onda de la partícula incidente es mucho mayor que el rango sobre el cual V(r) actúa significativamente.

Sin embargo, esto puede fallar para potenciales fuertes o energías cercanas a resonancias de dispersión, donde las perturbaciones de orden superior se vuelven importantes, y así deben considerarse múltiples eventos de dispersión.

Aplicaciones de la aproximación de Born

A pesar de sus limitaciones, la aproximación de Born ha sido importante en una variedad de campos científicos:

  • Física atómica y molecular: En cálculos de secciones transversales de dispersión y posibles interacciones entre átomos y moléculas.
  • Física de materia condensada: Utilizado en el análisis de interacciones electrón-fonón y dispersión de impurezas en sólidos.
  • Óptica: Utilizado en el análisis de la dispersión de luz por pequeñas partículas o superficies rugosas.
  • Física nuclear: Utilizado en cálculos de reacciones nucleares, especialmente para reacciones que involucran neutrones.

La belleza de este enfoque reside en su capacidad para reducir problemas cuánticos complejos en formas analíticas manejables, que pueden evaluarse relativamente fácil.

Ejemplo resuelto: dispersión por un potencial esféricamente simétrico

Consideremos un ejemplo simple de dispersión por un potencial esféricamente simétrico V(r) = V₀ e^(-λr), donde V₀ y λ son constantes.

En la aproximación de Born, la amplitud de dispersión f(k f, k i) se convierte en:

f(k f, k i) = - (mV₀/2πħ²) ∫ e^(i(k f - k i)·r) e^(-λr) dr

Usando la simetría esférica, la integral se simplifica en coordenadas esféricas:

f(q) = - (mV₀/ħ²) ∫₀^∞ 4π sin(qr)/qr e^(-λr) r dr

donde q = |k f - k i| es la transferencia de momento.

Esta integral, que se encuentra a menudo en la teoría de dispersión, puede evaluarse usando técnicas estándar, proporcionando información sobre cómo el potencial dispersa la onda incidente.

Conclusión

La aproximación de Born es un componente indispensable de la teoría de la dispersión cuántica. Su fortaleza radica en proporcionar un método simple para calcular la dispersión a partir de potenciales débiles. Aunque requiere la validez de ciertas condiciones, en situaciones donde estas condiciones se cumplen, la aproximación de Born proporciona un modo eficiente y práctico para tratar sistemas dinámicos cuánticos complejos.

Al iterar entre cálculos intuitivos y analíticos, los físicos pueden aprovechar la aproximación de Born para explorar y predecir el comportamiento de sistemas cuánticos interactuantes, allanando el camino para avances en la física teórica y aplicada.


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