Приближение Борна

Приближение Борна — это важное понятие в теории квантового рассеяния, которая является частью квантовой механики. Оно позволяет физикам анализировать, как частицы, такие как электроны, фотоны или нейтроны, рассеиваются, встречая потенциальные барьеры или другие частицы. Это приближение применимо не только в физике, но и в таких областях, как химия и материаловедение.

Чтобы понять приближение Борна, сначала нужно ознакомиться с основами квантового рассеяния. Теория рассеяния рассматривает, как частицы, которые можно представить как пакеты волн, взаимодействуют и рассеиваются от потенциальных полей. На базовом уровне квантовое поведение частиц определяется уравнением Шредингера:

iħ ∂ψ/∂t = Hψ

Здесь i — мнимая единица, ħ — приведённая постоянная Планка, ψ — функция волны, описывающая амплитуду вероятности положения частицы, t — время, и H — оператор Гамильтона системы.

Рассеяние от потенциала

В квантовой механике, когда мы рассматриваем рассеяние частицы потенциалом V(r), мы часто решаем проблему, рассматривая стационарное решение уравнения Шредингера:

(H₀ + V)ψ = Eψ

Где:

• H₀ — не возмущённый Гамильтон.
• V — потенциал, вызывающий рассеяние.
• E — собственное значение энергии.

Невозмущённая часть H₀ описывает свободную частицу, и её решение, плоская волна, задаётся уравнением:

ψ₀(r) = e^(ik·r)

где k — волновой вектор, связанный с импульсом p частицы, через p = ħk.

Когда вводится потенциал V, он возмущает систему, и нам требуется новое решение функции волны ψ, которое учитывает это.

Понимание приближения Борна

Приближение Борна — это метод приближённого решения уравнения Шредингера в случае слабого потенциала V. Оно предполагает, что рассеянная волна намного меньше, чем падающая волна, что позволяет рассматривать V как небольшое возмущение.

Основная идея заключается в выражении полной функции волны ψ(r) следующим образом:

ψ(r) = ψ₀(r) + ψₑ(r)

Здесь ψ₀(r) — функция волны интеграла, а ψₑ(r) представляет рассеянную часть функции волны.

Приближение Борна даёт решение первого порядка для рассеянной функции волны ψₑ(r), используя уравнение Липпманна-Швингера:

ψ(r) = ψ₀(r) + ∫ G(r, r')V(r')ψ(r') dr'

где G(r, r') — это функция Грина, описывающая отклик системы на точечный источник. В приближении Борна мы заменяем ψ(r') на ψ₀(r') в интеграле, что упрощает расчёт.

Математическое определение

Давайте поглубже взглянем на математический аспект приближения Борна. Мотивация возникает в связи с тем, что решение полного уравнения рассеяния является сложной задачей при работе с комплексными вероятностями.

Функция Грина в трёх измерениях задаётся уравнением:

G(r, r') = - (1/4π) e^(ik|r - r'|)/|r - r'|

Приближение для потенциального члена получается путём включения ψ(r') ≈ ψ₀(r'):

ψ(r) ≈ ψ₀(r) - (1/4π) ∫ e^(ik|r - r'|)/|r - r'| V(r') e^(ik·r') dr'

Это элементарное выражение для исходного приближения Борна. Рассеянная волна теперь является интегралом по потенциалу, модифицированному фазовым фактором, зависящим от падающей волны.

Графическая иллюстрация

Чтобы это было более понятно, давайте рассмотрим простую схему, показывающую взаимодействие потенциального поля с падающей волной.

На рисунке линия слева представляет фронт падающей волны, который взаимодействует с потенциалом, представленным кругом в центре. После взаимодействия волна рассеивается, создавая новые фронты справа. Эта визуализация помогает понять, как потенциал влияет на функцию волны.

Первое приближение Борна: упрощённый подход

Приближение Борна особенно эффективно для задач, в которых потенциал V(r) мал. В этом случае достаточно первой порядковой аппроксимации рассеянной волны для описания её поведения. Предполагается, что только термины первого порядка в V(r) значительно влияют на решение.

Когда мы применяем приближение Борна, амплитуда рассеяния f(k f, k i) выражается как:

f(k f, k i) = - (m/2πħ²) ∫ e^(i(k f - k i)·r') V(r') dr'

Здесь:

• k i и k f — начальный и конечный волновые векторы, соответственно.
• m — масса частицы.
• ħ — уменьшенная постоянная Планка.

Обратите внимание, что выражение является преобразованием Фурье потенциала V(r), что показывает, как различные компоненты импульса рассеиваются потенциалом.

Эта простота является одной из причин, почему первое приближение Борна популярно в практических приложениях, таких как атомная и молекулярная физика, где потенциалы взаимодействия часто можно рассматривать как слабые возмущения.

Ограничения и достоверность приближения Борна

Основное ограничение приближения Борна заключается в его предположении о слабом рассеянии. В общем, метод, как ожидается, даст точные результаты, когда:

• V(r) мал по сравнению с кинетической энергией падающей частицы.
• Длина волны падающей частицы намного больше, чем диапазон, на котором V(r) действует значительно.

Однако это может не сработать для сильных потенциалов или энергий вблизи резонансов рассеяния, где становятся важными возмущения более высокого порядка, и, следовательно, необходимо учитывать многократные события рассеяния.

Применения приближения Борна

Несмотря на свои ограничения, приближение Борна было важно в различных научных областях:

• Атомная и молекулярная физика: При расчётах сечений рассеяния и возможных взаимодействиях между атомами и молекулами.
• Физика конденсированного состояния: используется в анализе взаимодействий электрон-фонон и рассеяния примесей в твёрдых телах.
• Оптика: Используется в анализе рассеяния света малыми частицами или неровными поверхностями.
• Ядерная физика: Используется в расчётах ядерных реакций, особенно для реакций с участием нейтронов.

Красота этого подхода заключается в его способности сводить сложные квантовые задачи к управляемым аналитическим формам, которые можно относительно легко оценить.

Пример задачи: рассеяние сферически-симметричным потенциалом

Рассмотрим простой пример, включающий рассеяние сферически-симметричным потенциалом V(r) = V₀ e^(-λr), где V₀ и λ — константы.

В приближении Борна амплитуда рассеяния f(k f, k i) становится:

f(k f, k i) = - (mV₀/2πħ²) ∫ e^(i(k f - k i)·r) e^(-λr) dr

При использовании сферической симметрии интеграл упрощается в сферических координатах:

f(q) = - (mV₀/ħ²) ∫₀^∞ 4π sin(qr)/qr e^(-λr) r dr

где q = |k f - k i| — перенос импульса.

Этот интеграл, который часто встречается в теории рассеяния, можно оценить с использованием стандартных методов, давая информацию о том, как потенциал рассеивает падающую волну.

Заключение

Приближение Борна является незаменимым компонентом теории квантового рассеяния. Его сила заключается в предоставлении простого метода для расчёта рассеяния слабых потенциалов. Хотя он требует соблюдения определённых условий, в ситуациях, где эти условия соблюдаются, приближение Борна предоставляет эффективный и практичный способ справиться с сложными квантовыми динамическими системами.

Переходя между интуитивными и аналитическими расчётами, физики могут воспользоваться приближением Борна для изучения и прогнозирования поведения взаимодействующих квантовых систем, что открывает путь для достижений в теоретической и прикладной физике.

Комментарии