Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Análisis de ondas parciales


El análisis de ondas parciales es una técnica utilizada en mecánica cuántica, particularmente en el estudio de la teoría de dispersión cuántica. Es un método detallado para resolver problemas de dispersión en mecánica cuántica y es útil para comprender cómo interactúan las partículas cuando colisionan o se dispersan entre sí. Esta técnica es bastante general y se puede aplicar a una amplia variedad de escenarios de dispersión.

Para entender el análisis de ondas parciales, primero debemos recordar algunos conceptos básicos en mecánica cuántica. La ecuación básica que describe los sistemas mecánicos cuánticos es la ecuación de Schrödinger:

        iħ ∂Ψ/∂t = HΨ
    iħ ∂Ψ/∂t = HΨ

Aquí, Ψ es la función de onda de las partículas involucradas, ħ es la constante de Planck, y H es el Hamiltoniano, un operador que corresponde a la energía total del sistema.

Conceptos básicos de la teoría de dispersión

En la teoría de dispersión cuántica, a menudo nos interesa cómo una partícula, como un electrón, interactúa con un objetivo, como un átomo u otra partícula. Cuando una partícula se acerca a un objetivo, se puede tratar como una onda plana:

        Ψ_ingresante = A e^(ikz)
    Ψ_ingresante = A e^(ikz)

donde A es la amplitud, k es el vector de onda, y z denota la dirección de incidencia. Después de la interacción, la onda se dispersará, y parte de ella fluirá hacia afuera como una onda esférica:

        Ψ_dispersada = f(θ, φ) e^(ikr)/r
    Ψ_dispersada = f(θ, φ) e^(ikr)/r

Aquí, f(θ, φ) es la amplitud de dispersión, que describe cómo el objetivo afecta la onda, y (r, θ, φ) son coordenadas esféricas.

¿Qué es el análisis de ondas parciales?

El análisis de ondas parciales simplifica el proceso de resolver el problema de dispersión al descomponer la onda dispersada en una serie de ondas esféricas, cada una de las cuales se caracteriza por un número cuántico de momento angular entero, l. La idea es expresar la función de onda como una suma de estas ondas parciales:

        Ψ_dispersada = ∑ (2l + 1) i^l a_l P_l(cos θ) e^(iσ_l) e^(ikr)/r
    Ψ_dispersada = ∑ (2l + 1) i^l a_l P_l(cos θ) e^(iσ_l) e^(ikr)/r

En esta expresión, a_l representa las amplitudes de dispersión para cada onda parcial, P_l son los polinomios de Legendre, y σ_l es el cambio de fase experimentado por el objetivo en la onda ingresante. Esto se puede visualizar utilizando una serie de ondas esféricas concéntricas que representan diferentes valores de l.

Una de las principales ventajas del análisis de ondas parciales es que separa ordenadamente las contribuciones a la dispersión según el momento angular, que es una cantidad conservada en muchas situaciones físicas. Esto significa que solo ciertos valores de l harán contribuciones significativas a una energía dada.

Conectando con la intuición física

Para entender la idea del análisis de ondas parciales, considera el famoso experimento de la doble rendija. Cuando los electrones se disparan a través de una doble rendija, emerge un patrón de interferencia, destacando la naturaleza ondulatoria de las partículas. De manera similar, cuando las partículas se dispersan, la amplitud de las ondas dispersadas depende de la interferencia de diferentes ondas parciales.

Por ejemplo, piensa en cómo las ondas en un estanque se expanden desde el punto donde se arroja una piedra. Las ondas se expanden en círculos concéntricos, al igual que nuestras ondas circulares. Al descomponer la onda dispersada en sus partes componentes (ondas parciales), podemos entender mejor la contribución de cada una al patrón final.

Más sobre el cambio de fase

Cuando una onda se dispersa de un objetivo, el potencial afecta la fase de la onda saliente. Este efecto se captura mediante el cambio de fase σ_l asociado con cada onda parcial. Físicamente, el cambio de fase representa el retraso impuesto a cada onda parcial debido al potencial de interacción.

La sección eficaz total, que mide la probabilidad de dispersión en cualquier ángulo, puede expresarse como el cambio de fase para cada onda parcial:

        σ_total = (4π/k^2) ∑ (2l + 1) sin^2(σ_l)
    σ_total = (4π/k^2) ∑ (2l + 1) sin^2(σ_l)

La expresión muestra que la sección eficaz está compuesta por contribuciones en cada l. Por ejemplo, si cada σ_l es cero, significa que no ocurre dispersión, y la onda no cambia su fase debido a la interacción con el objetivo.

Un ejemplo: dispersión por una esfera dura

Un problema clásico en el análisis de ondas parciales es la dispersión por una esfera rígida, que aproxima algunas interacciones simples. Imagina que una onda ingresante colisiona con una esfera perfectamente rígida e impenetrable. Este escenario sirve como un excelente punto de partida para entender el efecto de un objetivo en una onda cuántica incidente.

Para una esfera rígida con radio a, las condiciones de contorno en la superficie de la esfera dictan que la función de onda debe desaparecer. En este caso, el cambio de fase se puede determinar analíticamente. Las ondas parciales para este escenario son esféricamente simétricas:

        σ_l = arctan(j_l(ka)/n_l(ka))
    σ_l = arctan(j_l(ka)/n_l(ka))

Aquí j_l y n_l son funciones de Bessel esféricas que representan soluciones de la ecuación de Schrödinger radial para potenciales esféricos.

Visualización de ondas parciales

Para entender la mecánica de las ondas parciales, consideremos una representación visual simple. Imagina una serie de círculos concéntricos que representan los frentes de onda de las ondas parciales. El círculo central, que es más pequeño en radio, representa el bajo l (por ejemplo, l=0) y los círculos exteriores con radios más grandes representan valores más altos de l. La interferencia de estas ondas parciales contribuye a la amplitud de dispersión general de una manera definida.

Cada círculo puede pensarse como una sola onda parcial en acción. La interacción entre estos frentes de onda, a medida que se dispersan del objetivo y forman un patrón de interferencia, es lo que el análisis de ondas parciales busca describir y cuantificar.

Conclusión

El análisis de ondas parciales es un método poderoso y práctico utilizado en dispersión cuántica para descomponer y estudiar las interacciones de ondas con el objetivo. Al evaluar el cambio de fase de cada onda parcial, obtenemos una comprensión de la eficiencia de dispersión y la sección eficaz. Además, el análisis de ondas parciales ayuda a separar las contribuciones de diferentes estados de momento angular.

A medida que profundizamos en la mecánica cuántica, el análisis de ondas parciales sirve como un puente útil desde las ideas de ondas clásicas hacia el ámbito cuántico. Su aplicación es amplia y abarca una variedad de problemas en física, proporcionando información sobre colisiones atómicas, física nuclear y mucho más.


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