Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

Posgrado → Quantum mechanics → Teoría cuántica de dispersión ↓


Teoría de la matriz S


La teoría de la matriz S, o teoría de la matriz de dispersión, es un concepto central en la teoría cuántica de dispersión que trata sobre las interacciones de partículas. Este concepto, que ganó una importancia significativa a mediados del siglo XX, considera las interacciones de partículas sin depender de los detalles teóricos de campo. En su lugar, se centra en las entradas y resultados de los eventos de dispersión, permitiendo a los físicos calcular cantidades observables como secciones transversales y tasas de transición.

Introducción a la teoría de dispersión

El proceso de dispersión ocurre cuando las partículas colisionan e interactúan, alterando así sus trayectorias y energías originales. Estos son fenómenos fundamentales estudiados en mecánica cuántica, cruciales para entender desde partículas subatómicas hasta las interacciones de núcleos atómicos.

En estos procesos, generalmente consideramos dos tipos de situaciones:

1. Estado Inicial: Las partículas entrantes antes de la interacción. 2. Estado Final: Las partículas salientes después de la interacción.

El objetivo principal de la teoría de dispersión es conectar estos estados, principalmente utilizando herramientas matemáticas que ayudan a predecir los resultados de las interacciones de partículas. La matriz S proporciona una solución elegante actuando como un puente entre estos estados iniciales y finales.

Definición de la matriz S

La matriz S o matriz de dispersión es una matriz unitaria que codifica todos los posibles resultados de un proceso de dispersión dado. Sus componentes describen cómo un estado inicial se transforma en varios estados finales posibles.

Matemáticamente, la matriz S se representa como:

S_{fi} = langle f | S | i rangle

Aquí, |i> y |f> son los estados inicial y final, respectivamente. El elemento de la matriz S S_{fi} da la amplitud de probabilidad para un sistema preparado en el estado |i> que puede observarse en el estado |f> después de la interacción.

Unidad y leyes de conservación

Una propiedad clave de la matriz S es su unidad, lo que asegura la conservación de probabilidad. Esto significa que la probabilidad total de todos los posibles estados finales, dado un estado inicial, es igual a uno, lo cual es un reflejo de las leyes de conservación (como la conservación de energía y momento) en mecánica cuántica.

La condición de unidad de la matriz S puede expresarse como:

S^dagger S = SS^dagger = I

donde S^dagger es el conjugado Hermitiano de la matriz S y I es la matriz identidad.

Representación visual

Proceso simple de dispersión 2-a-2

Para ver cómo funciona la matriz S, considere un proceso simple de dispersión de partículas 2-a-2. En el estado inicial, dos partículas se intersectan, interactúan a través de algún potencial y salen como otro conjunto de partículas.

ABCD

En esta vista, las partículas A y B colisionan, y las partículas C y D surgen de la interacción. La matriz S nos permitirá calcular las amplitudes de probabilidad para las diversas configuraciones posibles de C y D después de la colisión.

Ejemplo de texto: Dispersión elástica simple

Considere un estado inicial |i> que consiste en dos partículas. Si |f> denota el estado donde ambas partículas se dispersan sin cambiar de identidad o estado interno (dispersión elástica), entonces los elementos de la matriz S se calcularán para determinar las probabilidades y amplitudes de probabilidad de este resultado.

Sea |i> = |A, B> y |f> = |C, D> donde C = A y D = B (dispersión idéntica). La amplitud de probabilidad se da como S_{fi} = langle C, D | S | A, B rangle.

Marco analítico de la teoría de la matriz S

Configurar la matriz S incluye todas las posibles superposiciones de estados dentro de las restricciones de conservación de energía. Sirve como una piedra angular para construir teorías donde los mecanismos de interacción pueden ser demasiado complejos para modelar explícitamente.

Los puntos a considerar en la teoría de la matriz S son los siguientes:

- Estados Asintóticos: Partículas libres antes y después de la colisión. - Amplitud Invariante: Considerar la invariancia lorentziana ayuda a simplificar descripciones. - Análisis del Plano Complejo: Propiedades analíticas como polos corresponden a estados ligados o resonancias.

Matriz S en la teoría cuántica de campos

En teoría cuántica de campos (TQC), la matriz S juega un papel importante al extender aplicaciones previas de casos no relativistas a situaciones relativistas, y también toca la física de partículas elementales donde las interacciones son abundantes.

La amplitud de transición en TQC se calcula usando diagramas de Feynman, cada uno de los cuales corresponde a un elemento de la matriz S:

- Cada línea en un diagrama de Feynman representa el propagador de una partícula. - Los vértices representan puntos donde ocurren interacciones (fuerzas).

Ilustración de un diagrama de Feynman simple

e⁻γe⁻

En este diagrama, un electrón ((e^-)) emite un fotón ((gamma)), mostrando una interacción QED fundamental descrita por un elemento de la matriz S.

Aplicaciones de la teoría de la matriz S

La teoría de la matriz S se utiliza extensamente en la física de altas energías para entender colisiones de partículas en aceleradores, como las realizadas en el Gran Colisionador de Hadrones (LHC) del CERN. Al teorizar la matriz S para procesos dados, los investigadores pueden hacer predicciones sobre probabilidades de resultados y verificarlas contra datos experimentales.

También es importante en el estudio de resonancias y la estabilidad de partículas, y vincula observaciones a fuerzas fundamentales y propiedades intrínsecas de partículas.

Beneficios y desafíos

Los beneficios de usar la teoría de la matriz S incluyen:

- Unificación de procesos de dispersión sin dinámica detallada. - Simplifica interacciones complejas en cálculos manejables. - Se relaciona directamente con cantidades físicas observables.

Sin embargo, existen desafíos:

- Requiere suposiciones como condiciones asintóticas y estabilidad. - Algunos cálculos pueden volverse matemáticamente intensivos. - Menos información detallada sobre dinámicas de interacción subyacentes.

A pesar de estos desafíos, la matriz S sigue siendo una herramienta elegante y efectiva en el arsenal del físico.

Conclusión

La teoría de la matriz S proporciona un marco poderoso dentro de la mecánica cuántica para manejar las complejidades de las interacciones de partículas sin tener que profundizar en los esquivos detalles de cada proceso subyacente. Su aplicación en teorías tanto cuánticas como de campo cuántico permite la interpretación y predicción de fenómenos a diferentes niveles de escala en la física teórica, proporcionando vínculos directos a resultados prácticos.

Los desarrollos futuros pueden mejorar las técnicas computacionales para aplicaciones más amplias, y ayudar a cerrar la brecha entre la formulación teórica y la validación experimental.


Posgrado → 4.3.4


U
username
0%
completado en Posgrado

← Anterior (4.3.3)
Teorema Óptico
Siguiente (4.4) →
Teoría cuántica de campos

Comentarios 



Teoría de la matriz S

https://www.physicsflow.com/g/4.3.4?pfal=es