Pós-graduação
  1. Mecânica clássica  1.1. Cinemática Avançada  1.1.1. Generalized coordinate systems  1.1.2. Equações paramétricas de movimento  1.1.3. Referenciais não inerciais e forças fictícias  1.1.4. Formulação covariante do momento  1.1.5. Variável ação-ângulo  1.2. Mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana  1.2.1. Princípio da ação mínima  1.2.2. Equações de Euler-Lagrange  1.2.3. Teorema de Noether e leis de conservação  1.2.4. Velocidade Normalizada  1.2.5. Conversão canônica  1.2.6. Bracket de Poisson e teoria de Hamilton-Jacobi  1.2.7. Caos Hamiltoniano e Integrabilidade  1.3. Mobilidade de corpo rígido  1.3.1. Euler's equations of motion  1.3.2. Momentos principais de inércia  1.3.3. Movimento giroscópico e precessão  1.3.4. Tensor de inércia  1.3.5. Estabilidade da velocidade rotacional  1.4. Dinâmica não linear e caos  1.4.1. Análise de espaço de fase e estabilidade  1.4.2. Seções de Poincaré e teoria de bifurcação  1.4.3. Atractores Estranhos e Fractais  1.4.4. Expoente de Lyapunov  1.4.5. KAM theorem and quasi-periodic motion
  2. Eletromagnetismo  2.1. Eletrodinâmica Avançada  2.1.1. Função de Green e teoria do potencial  2.1.2. Expansão multipolar  2.1.3. Método de carga de imagem  2.1.4. Condições de contorno e teorema de unicidade  2.2. Propagação de ondas eletromagnéticas  2.2.1. Ondas planas em dielétricos e condutores  2.2.2. Waveguides and cavity resonators  2.2.3. Radiation pressure and optical tweezers  2.2.4. Polarização e cálculo de Jones  2.3. Eletrodinâmica relativística  2.3.1. Formulação covariante da eletrodinâmica  2.3.2. Potenciais de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiação de síncrotron e bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo eletromagnético e transformações de Lorentz  2.4. Física de plasma  2.4.1. Magnetohidrodinâmica  2.4.2. Blindagem de Debye e oscilações do plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén e confinamento em tokamak  2.4.4. Instabilidades de plasma e turbulência
  3. Mecânica estatística e termodinâmica  3.1. Termodinâmica Avançada  3.1.1. Transformadas de Legendre e potenciais termodinâmicos  3.1.2. Teorema da Flutuação–Dissipação  3.1.3. Relações interpessoais de Onsager  3.1.4. Critical events and phase transitions  3.2. Mecânica estatística quântica  3.2.1. Teoria de Matriz Densidade e Conjuntos  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transição de fase quântica  3.2.4. Estatísticas de Fermi–Dirac e Bose–Einstein  3.2.5. Funções de partição e ensembles grand canônicos
  4. Mecânica quântica  4.1. Mecânica de ondas avançada  4.1.1. Aproximação WKB  4.1.2. Formulação de integrais de caminho  4.1.3. Oscilador harmônico quântico e estados coerentes  4.2. Momento angular e spin  4.2.1. Spherical Harmonics  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamento spin-órbita  4.3. Teoria do espalhamento quântico  4.3.1. Born approximation  4.3.2. Análise de onda parcial  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. S-matrix theory  4.4. Quantum field theory  4.4.1. Segunda Quantização  4.4.2. Diagramas de Feynman e propagadores  4.4.3. Teoria da Renormalização  4.4.4. Gauge theory and Yang–Mills fields  4.4.5. Quebra espontânea de simetria e o mecanismo de Higgs
  5. Relatividade geral e cosmologia  5.1. Cálculo tensorial e geometria diferencial  5.1.1. Equações de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild e Kerr  5.1.3. Geodésicas e símbolos de Christoffel  5.2. Cosmologia e o Universo  5.2.1. A métrica FLRW e a inflação cósmica  5.2.2. Energia escura e formação de estruturas  5.2.3. Radiação cósmica de fundo em micro-ondas
  6. Física da matéria condensada  6.1. Estrutura de bandas e teoria do transporte  6.1.1. Teorema de Bloch e o modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topologia da superfície de Fermi  6.1.3. Efeito Hall Quântico  6.2. Supercondutividade  6.2.1. Teoria BCS e pares de Cooper  6.2.2. Efeito Meissner e quantização de fluxo  6.2.3. The Josephson Effect and SQUIDs  6.3. Fases topológicas da matéria  6.3.1. Isolantes Topológicos  6.3.2. Fermions de Majorana em fases topológicas da matéria
  7. Física Nuclear e de Partículas  7.1. Cromodinâmica Quântica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks e glúons  7.1.2. Liberdade Assintótica  7.1.3. Confinamento e hadronização  7.2. Além do Modelo Padrão  7.2.1. Teorias de Grande Unificação  7.2.2. Supersimetria e dimensões extras  7.2.3. Oscilações de neutrinos

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S-matrix theory


A teoria da S-matrix, ou teoria da matriz de espalhamento, é um conceito central na teoria do espalhamento quântico lidando com as interações de partículas. Este conceito, que ganhou importância significativa em meados do século 20, considera as interações de partículas sem depender de detalhes teóricos de campo. Em vez disso, foca nas entradas e resultados de eventos de espalhamento, permitindo que físicos calculem quantidades observáveis, como seções transversais e taxas de transição.

Introdução à teoria do espalhamento

O processo de espalhamento ocorre quando partículas colidem e interagem, alterando assim seus caminhos e energias originais. Estes são fenômenos fundamentais estudados em mecânica quântica, essenciais para compreender desde partículas subatômicas até as interações de núcleos atômicos.

Nestes processos, geralmente consideramos dois tipos de situações:

1. Estado Inicial: As partículas antes da interação. 2. Estado Final: As partículas após a interação.

O principal objetivo da teoria do espalhamento é conectar esses estados, principalmente usando ferramentas matemáticas que ajudam a prever os resultados de interações de partículas. A S-matrix fornece uma solução elegante ao atuar como uma ponte entre esses estados inicial e final.

Definição da S-matrix

A S-matrix ou matriz de espalhamento é uma matriz unitária que codifica todos os possíveis resultados de um dado processo de espalhamento. Seus componentes descrevem como um estado inicial se transforma em vários possíveis estados finais.

Matematicamente, a S-matrix é representada como:

S_{fi} = langle f | S | i rangle

Aqui, |i> e |f> são os estados inicial e final, respectivamente. O elemento da S-matrix S_{fi} fornece a amplitude de probabilidade de um sistema preparado no estado |i> que pode ser observado no estado |f> após a interação.

Unidade e leis de conservação

Uma propriedade chave da S-matrix é sua unidade, que assegura a conservação da probabilidade. Isso significa que a probabilidade total de todos os possíveis estados finais, dado um estado inicial, é igual a um, que é um reflexo das leis de conservação (como conservação de energia e momento) na mecânica quântica.

A condição de unidade da S-matrix pode ser expressa como:

S^dagger S = SS^dagger = I

onde S^dagger é o conjugado hermitiano da S-matrix e I é a matriz identidade.

Representação visual

Processo simples de espalhamento 2-para-2

Para ver como a S-matrix funciona, considere um simples processo de espalhamento de partículas 2-para-2. No estado inicial, duas partículas se intersectam, interagem através de algum potencial, e se afastam como outro conjunto de partículas.

ABCD

Nesta visão, partículas A e B colidem, e partículas C e D surgem da interação. A S-matrix nos permitirá calcular as amplitudes de probabilidade para as várias possíveis configurações de C e D após a colisão.

Exemplo de texto: Espalhamento elástico simples

Considere um estado inicial |i> composto por duas partículas. Se |f> denota o estado em que ambas as partículas se espalham sem mudar de identidade ou estado interno (espalhamento elástico), então os elementos da S-matrix serão calculados para determinar as probabilidades e amplitudes de probabilidade deste resultado.

Deixe |i> = |A, B> e |f> = |C, D> onde C = A e D = B (espalhamento idêntico). A amplitude de probabilidade é dada como S_{fi} = langle C, D | S | A, B rangle.

Estrutura analítica da teoria da S-matrix

Montar a S-matrix inclui todas as possíveis sobreposições de estados dentro de restrições de conservação de energia. Serve como um alicerce para construir teorias onde os mecanismos de interação podem ser muito complexos para modelar explicitamente.

Os pontos a considerar na teoria da S-matrix são os seguintes:

- Estados Assintóticos: Partículas livres antes e depois da colisão. - Amplitude Invariante: Considerar a invariância de Lorentz ajuda a simplificar descrições. - Análise no Plano Complexo: Propriedades analíticas como polos correspondem a estados ligados ou ressonâncias.

S-matrix na teoria quântica de campos

Na teoria quântica de campos (QFT), a S-matrix desempenha um papel importante ao estender aplicações anteriores de casos não relativísticos para situações relativísticas, e também toca na física de partículas elementares onde interações são abundantes.

A amplitude de transição em QFT é calculada usando diagramas de Feynman, cada um dos quais corresponde a um elemento de S-matrix:

- Cada linha em um diagrama de Feynman representa um propagador de partícula. - Vértices representam pontos onde ocorrem interações (forças).

Ilustração de um diagrama de Feynman simples

e⁻γe⁻

Neste diagrama, um elétron ((e^-)) emite um fóton ((gamma)), mostrando uma interação fundamental da Eletrodinâmica Quântica (QED) descrita por um elemento de S-matrix.

Aplicações da teoria da S-matrix

A teoria da S-matrix é usada extensivamente na física de altas energias para entender colisões de partículas em aceleradores, como aquelas realizadas no Grande Colisor de Hádrons (LHC) do CERN. Ao teorizar a S-matrix para processos determinados, os pesquisadores podem fazer previsões sobre as probabilidades de resultados e verificá-las com dados experimentais.

Também é importante no estudo de ressonâncias e estabilidade de partículas, e liga observações a forças fundamentais e propriedades intrínsecas das partículas.

Benefícios e desafios

Os benefícios de usar a teoria da S-matrix incluem:

- Unificação de processos de espalhamento sem dinâmicas detalhadas. - Simplifica interações complexas em cálculos gerenciáveis. - Relaciona diretamente a quantidades físicas observáveis.

No entanto, existem desafios:

- Requer suposições como condições assintóticas e estabilidade. - Alguns cálculos podem se tornar matematicamente intensivos. - Menos insights detalhados sobre dinâmicas de interação subjacentes.

Apesar desses desafios, a S-matrix continua sendo uma ferramenta elegante e eficaz no arsenal de um físico.

Conclusão

A teoria da S-matrix fornece um quadro poderoso dentro da mecânica quântica para lidar com as complexidades das interações de partículas sem a necessidade de se aprofundar nos detalhes elusivos de cada processo subjacente. Sua aplicação em ambas as teorias quânticas e quânticas de campo permite a interpretação e predição de fenômenos em diferentes níveis de escala na física teórica, proporcionando ligações diretas a resultados práticos.

Desenvolvimentos futuros podem aprimorar técnicas computacionais para aplicações mais amplas, e ajudar a preencher a lacuna entre a formulação teórica e a validação experimental.


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