Теория S-матрицы

Теория S-матрицы или теория матрицы рассеяния является центральной концепцией в квантовой теории рассеяния, занимающейся взаимодействиями частиц. Эта концепция, которая приобрела значительное значение в середине 20-го века, рассматривает взаимодействия частиц без зависимости от деталей теории поля. Вместо этого она фокусируется на входах и результатах событий рассеяния, позволяя физикам вычислять наблюдаемые величины, такие как сечения и скорости переходов.

Введение в теорию рассеяния

Процесс рассеяния происходит, когда частицы сталкиваются и взаимодействуют, изменяя свои первоначальные траектории и энергии. Это фундаментальные явления, изучаемые в квантовой механике, которые являются ключевыми для понимания всего — от субатомных частиц до взаимодействий атомных ядер.

В этих процессах, как правило, рассматриваются два типа ситуаций:

1. Начальное состояние: Входящие частицы до взаимодействия. 2. Конечное состояние: Исходящие частицы после взаимодействия.

Основная цель теории рассеяния — соединить эти состояния, в первую очередь, используя математические инструменты, которые помогают предсказать результаты взаимодействий частиц. S-матрица предоставляет элегантное решение, выступая в роли моста между этими начальными и конечными состояниями.

Определение S-матрицы

S-матрица или матрица рассеяния — это унитарная матрица, которая кодирует все возможные исходы данного процесса рассеяния. Ее компоненты описывают, как начальное состояние преобразуется в различные возможные конечные состояния.

Математически S-матрица представляется как:

S_{fi} = langle f | S | i rangle

Здесь, |i> и |f> — это начальное и конечное состояния соответственно. Элемент S-матрицы S_{fi} дает амплитуду вероятности для системы, подготовленной в состоянии |i>, быть обнаруженной в состоянии |f> после взаимодействия.

Единство и законы сохранения

Ключевым свойством S-матрицы является ее единство, которое обеспечивает сохранение вероятности. Это означает, что полная вероятность всех возможных конечных состояний, заданных начальным состоянием, равна единице, что отражает законы сохранения (такие как сохранение энергии и импульса) в квантовой механике.

Условия единства S-матрицы могут быть выражены как:

S^dagger S = SS^dagger = I

где S^dagger — гермитово сопряжение S-матрицы, а I — единичная матрица.

Визуальное представление

Простой процесс рассеяния 2-на-2

Чтобы увидеть, как работает S-матрица, рассмотрим простой процесс рассеяния двух частиц. В начальном состоянии две частицы пересекаются, взаимодействуют через некоторый потенциал и расходятся как другой набор частиц.

В этом представлении частицы A и B сталкиваются, а из взаимодействия возникают частицы C и D. S-матрица позволит нам вычислить амплитуды вероятностей для различных возможных конфигураций C и D после столкновения.

Текстовый пример: Простое упругое рассеяние

Рассмотрим начальное состояние |i>, состоящее из двух частиц. Если |f> обозначает состояние, в котором обе частицы рассеиваются, не изменяя свою идентичность или внутреннее состояние (упругое рассеяние), то элементы S-матрицы будут рассчитаны для определения вероятностей и амплитуд вероятностей этого исхода.

Пусть |i> = |A, B> и |f> = |C, D>, где C = A и D = B (идентичное рассеяние). Амплитуда вероятности задается как S_{fi} = langle C, D | S | A, B rangle.

Аналитическая структура теории S-матрицы

Настройка S-матрицы включает все возможные перекрытия состояний с учетом ограничений на сохранение энергии. Она служит краеугольным камнем для построения теорий, где механизмы взаимодействия могут быть слишком сложными для явного моделирования.

Основные моменты, которые необходимо учитывать в теории S-матрицы, следующие:

- Асимптотические состояния: Частицы свободные до и после столкновения. - Инвариантная амплитуда: Учет лоренц-инвариантности помогает упростить описания. - Анализ комплексной плоскости: аналитические свойства, такие как полюсы, соответствуют связанным состояниям или резонансам.

S-матрица в квантовой теории поля

В квантовой теории поля (КТП) S-матрица играет важную роль, расширяя предыдущие применения от нерелятивистских случаев к релятивистским ситуациям, и также затрагивает физику элементарных частиц, где взаимодействия обильны.

Переходная амплитуда в КТП рассчитывается с использованием диаграмм Фейнмана, каждая из которых соответствует элементу S-матрицы:

- Каждая линия на диаграмме Фейнмана представляет собой пропагатор частицы. - Вершины представляют точки, в которых происходят взаимодействия (силы).

Иллюстрация простой диаграммы Фейнмана

На этой диаграмме электрон ((e^-)) испускает фотон ((gamma)), демонстрируя фундаментальное взаимодействие КЭД, описываемое элементом S-матрицы.

Приложения теории S-матрицы

Теория S-матрицы широко используется в физике высоких энергий для понимания столкновений частиц в ускорителях, таких как Европейский центр ядерных исследований (CERN) и Большой адронный коллайдер (БАК). Теоретизируя S-матрицу для данных процессов, исследователи могут делать прогнозы о вероятностях результатов и проверять их по экспериментальным данным.

Она также важна при изучении резонансов и стабильности частиц, связывая наблюдения с фундаментальными силами и внутренними свойствами частиц.

Преимущества и проблемы

Преимущества использования теории S-матрицы включают:

- Унификация процессов рассеяния без детальной динамики. - Упрощает сложные взаимодействия до управляемых расчетов. - Непосредственно относится к наблюдаемым физическим величинам.

Однако существуют и проблемы:

- Требуются предположения, такие как асимптотические условия и стабильность. - Некоторые расчеты могут стать математически интенсивными. - Меньше подробной информации о механизмах взаимодействия.

Несмотря на эти проблемы, S-матрица остается элегантным и эффективным инструментом в арсенале физика.

Заключение

Теория S-матрицы предоставляет мощную базу в квантовой механике для решения сложностей взаимодействий частиц без необходимости глубокого проникновения в ускользающие детали каждого основного процесса. Ее применение как в квантовой теории, так и в квантовой теории поля позволяет интерпретировать и предсказывать явления на разных уровнях шкалы в теоретической физике, предоставляя прямую связь с практическими результатами.

Будущие разработки могут улучшить вычислительные методики для более широкого применения и помочь преодолеть разрыв между теоретическими формулировками и экспериментальной валидацией.

Комментарии