Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Teoría cuántica de dispersión


La teoría cuántica de dispersión es una parte fundamental de la mecánica cuántica que trata con la interacción de partículas. Se utiliza principalmente para entender y describir cómo partículas como electrones, protones o incluso átomos y moléculas se dispersan después de interactuar entre sí o con un potencial. Esta teoría es esencial en campos como la física atómica, nuclear y de la materia condensada.

Conceptos básicos

Para entender la teoría cuántica de dispersión, es importante primero comprender teorías cuánticas básicas como la función de onda y la ecuación de Schrödinger. La función de onda describe el estado cuántico de un sistema y se representa generalmente con el símbolo ψ (psi). La ecuación de Schrödinger gobierna la evolución de estas funciones de onda:

iℏ (∂ψ/∂t) = Hψ

Donde:

  • i es la unidad imaginaria.
  • ℏ (h-barra) es la constante de Planck reducida.
  • H es el operador hamiltoniano que representa la energía total del sistema.

Proceso de dispersión

En un evento de dispersión, una onda entrante, como un haz de partículas, incide sobre un blanco o potencial. Las partículas interactúan con este blanco, resultando en ondas dispersas que viajan en diferentes direcciones. Un aspecto esencial de este proceso es determinar cuán probable es que las partículas se dispersen en una dirección particular. Esta probabilidad se describe mediante la amplitud de dispersión, denotada como f(θ, φ), donde θ y φ son ángulos que indican la dirección de la dispersión.

Función de onda en dispersión

En mecánica cuántica, normalmente usamos dos tipos de funciones de onda para describir la dispersión:

  • Onda plana entrante: representa las partículas entrantes y se escribe generalmente como: 
    ψin = ei(𝐤·𝐫 - ωt)
  • Onda dispersa: Describe las partículas después de la dispersión. A menudo es esféricamente simétrica y se da de la siguiente manera: 
    ψsc = f(θ, φ) (eikr /r)
Aquí, k es el número de onda, que está relacionado con la energía de las partículas, y r es la distancia desde el centro de dispersión.

Análisis de ondas parciales

Un método para simplificar los problemas de dispersión es el análisis de ondas parciales. En este método, la función de onda se expande en una serie de armónicos esféricos. Esto se vuelve particularmente útil porque cada término de la serie (llamado onda parcial) puede analizarse independientemente. La función de onda total puede expresarse como:

ψ(r, θ, φ) = Σ (2l + 1) il eiδl Pl (cos θ) (eikr /r)

Dónde las condiciones son:

  • Pl son polinomios de Legendre.
  • δl es el cambio de fase, que contiene información sobre el potencial.
  • Σ representa la suma de los diferentes estados de momento angular.

Teorema óptico

El teorema óptico es un resultado notable y muy útil en la teoría de dispersión que relaciona la sección transversal total con la amplitud de dispersión hacia adelante. Se da como:

σtotal = (4π/k) Im[f(0)]

Aquí, σtotal es la sección transversal, Im indica la parte imaginaria, y f(0) es la amplitud de dispersión hacia adelante.

Ecuación de Lippmann–Schwinger

Otra ecuación central en la teoría cuántica de dispersión es la ecuación de Lippmann-Schwinger. Esta es una ecuación integral que proporciona una manera de calcular la función de onda dispersa dado el potencial de interacción. Se escribe como:

ψ+ = φ + (1/E - H0 + iε) Vψ

En esta ecuación:

  • ψ+ es la función de onda saliente.
  • φ es la función de onda incidente.
  • V es el potencial de interacción.
  • H0 es el hamiltoniano libre.
  • ε es un número positivo muy pequeño usado para asegurar la convergencia de la integral.

Representación visual

Para entender mejor la dispersión, consideremos una representación visual. Aquí, representamos una onda plana entrante que se dispersa desde un potencial esférico, resultando en una onda esférica saliente:

La onda entrante Ondas dispersas

Ejemplos y cálculos

Para entender cómo se aplica la teoría cuántica de dispersión, veamos algunos ejemplos simples:

1. Dispersión de una esfera dura

Considere un escenario donde las partículas son dispersadas por una esfera rígida. Esta interacción puede modelarse como un potencial que es cero en todas partes, excepto en la superficie de la esfera. En tales casos, el cambio de fase para cada onda parcial se da igualando las condiciones de frontera en la superficie.

2. Potencial de Yukawa

El potencial de Yukawa es otro ejemplo clásico, comúnmente encontrado en física nuclear. Se da como:

V(r) = -g (e-αr /r)

Aquí, g es la fuerza de la interacción, y α establece el umbral. Calcular la amplitud de dispersión con este potencial involucra resolver la ecuación de Lippmann–Schwinger numéricamente.

Aproximación de Born

Para potenciales débiles, la aproximación de Born proporciona una manera de calcular las amplitudes de dispersión. La primera orden de la aproximación de Born para la amplitud de dispersión es:

f(θ, φ) ≈ -(2π²m/ħ²k) ∫V(r')ei(kk')·r' d³r'

Esta aproximación es válida cuando el potencial es débil o la longitud de onda de la partícula entrante es mucho mayor que el rango del potencial.

Conclusión

La teoría cuántica de dispersión es un marco versátil y poderoso que proporciona una profunda comprensión de la naturaleza de las interacciones cuánticas. Forma la base para muchas aplicaciones prácticas en varios campos de la física. Ya sea la hermosa formulación de funciones de onda, el análisis de ondas parciales o las soluciones numéricas de ecuaciones integrales, la teoría es una parte indispensable del conjunto de herramientas del físico.


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