क्वांटम प्रकीर्णन सिद्धांत

क्वांटम प्रकीर्णन सिद्धांत क्वांटम यांत्रिकी का एक मौलिक भाग है जो कणों की आपसी क्रिया से संबंधित है। इसका मुख्य रूप से उपयोग यह समझने और वर्णन करने के लिए किया जाता है कि जब कण जैसे कि इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन या यहाँ तक कि परमाणु और अणु एक-दूसरे से या किसी सामर्थ्य के साथ अन्तरक्रिया करते हैं, तो वे कैसे प्रकीर्णित होते हैं। यह सिद्धांत क्षेत्रों जैसे कि परमाणु, नाभिकीय और संघनित पदार्थ भौतिकी में अनिवार्य है।

मूलभूत अवधारणाएँ

क्वांटम प्रकीर्णन सिद्धांत को समझने के लिए, यह महत्वपूर्ण है कि पहले तरंग संक्रिया और श्रोडिंगर समीकरण जैसी मूलभूत क्वांटम सिद्धांतों को समझे। तरंग संक्रिया प्रणाली की क्वांटम अवस्था को वर्णित करती है और आमतौर पर ψ (साई) चिन्ह द्वारा प्रदर्शित की जाती है। श्रोडिंगर समीकरण इन तरंग कार्यों के उत्क्रॢसण का शासन करता है:

iℏ (∂ψ/∂t) = Hψ

जहाँ:

• i काल्पनिक इकाई है।
• ℏ (h-bar) प्लांक स्थिरांक का घटीत रूप है।
• H हेमिल्टोनियन ऑपरेटर है जो प्रणाली की कुल ऊर्जा को प्रदर्शित करता है।

प्रकीर्णन प्रक्रिया

एक प्रकीर्णन घटना में, एक आने वाली तरंग, जैसे कि कणों की किरण, एक लक्ष्य या सामर्थ्य पर गिरती है। कण इस लक्ष्य के साथ अन्तरक्रिया करते हैं, जिससे प्रकीर्णित तरंगें विभिन्न दिशाओं में गमन करती हैं। इस प्रक्रिया का एक अनिवार्य पहलू है यह निर्धारण करना कि कण किसी विशेष दिशा में प्रकीर्णित होने की कितनी संभावना रखते हैं। इस संभावना को प्रकीर्णन आयाम द्वारा वर्णित किया जाता है, जिसे f(θ, φ) के रूप में निरुपित किया जाता है, जहाँ θ और φ दिशा के कोण हैं।

प्रकीर्णन में तरंग संक्रिया

क्वांटम यांत्रिकी में, हम प्रकीर्णन का वर्णन करने के लिए दो प्रकार की तरंग संक्रियाओं का उपयोग करते हैं:

• आने वाली समतल तरंग: आने वाले कणों का प्रतिनिधित्व करती है और आमतौर पर इसे निम्नलिखित रूप में लिखा जाता है:

  ψin = ei(𝐤·𝐫 - ωt)

• प्रकीर्णित तरंग: प्रकीर्णन के बाद कणों का वर्णन करती है। यह अक्सर गोलाकार समरूप होती है और इसे निम्नलिखित रूप में प्रदर्शित किया जाता है:

  ψsc = f(θ, φ) (eikr /r)

यहाँ, k तरंग संख्या है, जो कणों की ऊर्जा से संबंधित है, और r प्रकीर्णन केंद्र से दूरी है।

आंशिक तरंग विश्लेषण

प्रकीर्णन समस्याओं को सरल बनाने के तरीकों में से एक है आंशिक तरंग विश्लेषण। इस पद्धति में, तरंग संक्रिया को गोलात्मक हार्मोनिक्स की श्रृंखला में विस्तारित किया जाता है। यह विशेष रूप से उपयोगी हो जाता है क्योंकि श्रृंखला के प्रत्येक तत्व (जिसे आंशिक तरंग कहा जाता है) को स्वतंत्र रूप से विश्लेषित किया जा सकता है। कुल तरंग संक्रिया को निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

ψ(r, θ, φ) = Σ (2l + 1) il eiδl Pl (cos θ) (eikr /r)

जहाँ स्थितियाँ हैं:

• P_l लीजेंडर बहुपद हैं।
• δ_l चरण परिवर्तन है, जो सामर्थ्य के बारे में जानकारी शामिल करता है।
• Σ विभिन्न कोणीय गति अवस्थाओं का योगदर्शन करता है।

ऑप्टिकल प्रमेय

ऑप्टिकल प्रमेय प्रकीर्णन सिद्धांत में एक उल्लेखनीय और बहुत उपयोगी परिणाम है जो कुल क्रॉस-सेक्शन को अग्रवान प्रकीर्णन आयाम से संबंधित करता है। इसे निम्नलिखित रूप में दिया जाता है:

σtotal = (4π/k) Im[f(0)]

यहाँ, σ_total क्रॉस-सेक्शन है, Im काल्पनिक भाग को दर्शाता है, और f(0) अग्रवान प्रकीर्णन आयाम है।

लिपमैन–श्विंगर समीकरण

क्वांटम प्रकीर्णन सिद्धांत में एक और केंद्रीय समीकरण लिपमैन-श्विंगर समीकरण है। यह एक पूर्णांक समीकरण है जो अन्तरक्रिया सामर्थ्य को ध्यान में रखते हुए प्रकीर्णित तरंग संक्रिया की गणना करने का तरीका प्रदान करता है। इसे निम्नलिखित रूप में लिखा जाता है:

ψ+ = φ + (1/E - H0 + iε) Vψ

इस समीकरण में:

• ψ+ प्रकीर्णित तरंग संक्रिया है।
• φ अभिद्रुत तरंग संक्रिया है।
• V अन्तरक्रिया सामर्थ्य है।
• H₀ मुक्त हेमिल्टोनियन है।
• ε एक बहुत छोटा धनात्मक संख्या है जिसका उपयोग पूर्णांक के संग्रथन को सुनिश्चित करने के लिए किया जाता है।

दृश्य प्रतिनिधित्व

प्रकीर्णन को बेहतर ढंग से समझने के लिए, चलिए एक दृश्य प्रतिनिधित्व पर विचार करते हैं। यहाँ, हम एक आने वाली समतल तरंग का चित्रण करते हैं जो एक गोलाकार सामर्थ्य से प्रकीर्णित होती है, जिसके परिणामस्वरूप एक गोलाकार बाहर जाती तरंग बनती है:

उदाहरण और गणनाएँ

यह समझने के लिए कि क्वांटम प्रकीर्णन सिद्धांत कैसे लागू किया जाता है, चलिए कुछ सरल उदाहरणों को देखते हैं:

1. हार्ड गोला से प्रकीर्णन

वह स्थिति पर विचार करें जहाँ कण एक कठोर गेंद द्वारा प्रकीर्णित होते हैं। इस अन्तरक्रिया को एक ऐसा सामर्थ्य माना जा सकता है जो क्षेत्र के सतह को छोड़कर कहीं शून्य हो। ऐसे मामलों में, प्रत्येक आंशिक तरंग के लिए चरण परिवर्तन सतह पर सीमा स्थितियों का मिलान करके निर्धारित किया जाता है।

2. युकावा सामर्थ्य

युकावा सामर्थ्य एक और क्लासिक उदाहरण है, जो सामान्यत: नाभिकीय भौतिकी में पाया जाता है। इसे निम्नलिखित रूप में दिया जाता है:

V(r) = -g (e-αr /r)

यहाँ, g अन्तरक्रिया की शक्ति है, और α केंद्रीकरण निर्धारित करता है। इस सामर्थ्य के साथ प्रकीर्णन आयाम की गणना करना लिपमैन–श्विंगर समीकरण को संख्यात्मक रूप से हल करना शामिल करता है।

बोर्न आसन्नीकरण

कमजोर सामर्थ्य के लिए, बोर्न आसन्नीकरण प्रकीर्णन आयामों की गणना करने का तरीका प्रदान करता है। प्रकीर्णन आयाम के लिए पहले-क्रम का बोर्न आसन्नीकरण निम्नलिखित है:

f(θ, φ) ≈ -(2π²m/ħ²k) ∫V(r')ei(kk')·r' d³r'

यह आसन्नीकरण तब मान्य होता है जब सामर्थ्य कमजोर होता है या आने वाले कण की तरंगधैर्य सामर्थ्य की सीमा से बहुत बड़ी होती है।

निष्कर्ष

क्वांटम प्रकीर्णन सिद्धांत एक लचीला और शक्तिशाली ढांचा है जो क्वांटम अन्तरक्रियाओं की प्रकृति के गहरे समझ प्रदान करता है। यह भौतिकी के विभिन्न क्षेत्रों में कई व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए आधार बनाता है। चाहे वह तरंग संक्रियाओं का सुंदर विन्यास हो, आंशिक तरंग विश्लेषण हो, या पूर्णांक समीकरणों के संख्यात्मक समाधान हों, यह सिद्धांत भौतिक विज्ञानी की उपकरण पेटी का एक अनिवार्य हिस्सा है।

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