量子散乱理論

量子散乱理論は、粒子の相互作用を扱う量子力学の基本的な部分です。主に、電子、陽子、さらには原子や分子のような粒子が、互いにまたはポテンシャルと相互作用した後にどのように散乱するかを理解し、記述するために使用されます。この理論は、原子物理学、核物理学、凝縮物質物理学などの分野で重要です。

基本的な概念

量子散乱理論を理解するためには、まず波動関数やシュレーディンガー方程式といった基本的な量子理論を理解することが重要です。波動関数は系の量子状態を記述し、通常は記号ψ（プサイ）で表されます。シュレーディンガー方程式はこれらの波動関数の時間発展を支配します：

iℏ (∂ψ/∂t) = Hψ

ここで：

• iは虚数単位です。
• ℏ（エイチバー）は縮約プランク定数です。
• Hは系の全エネルギーを表すハミルトニアン演算子です。

散乱過程

散乱事件では、粒子のビームのような入射波がターゲットまたはポテンシャルにあたります。粒子はこのターゲットと相互作用し、さまざまな方向に進む散乱波を生じさせます。この過程の重要な側面は、粒子が特定の方向に散乱する確率を決定することです。この確率は、散乱振幅 f(θ, φ)で表され、θおよびφは散乱方向を示す角度です。

散乱における波動関数

量子力学では、散乱を記述するために通常、2つのタイプの波動関数を使用します：

• 入射平面波: 入射粒子を表し、通常は次のように書かれます：

  ψin = ei(𝐤·𝐫 - ωt)

• 散乱波: 散乱後の粒子を記述します。通常、球対称であり、以下のように表されます：

  ψsc = f(θ, φ) (eikr /r)

ここで、kは粒子のエネルギーに関連する波数であり、rは散乱中心からの距離です。

部分波解析

散乱問題を単純化する方法の1つが部分波解析です。この方法では、波動関数を球面調和関数の級数に展開します。各級数の項（部分波と呼ばれる）は独立して分析できるため、特に便利です。波動関数は次のように表現できます：

ψ(r, θ, φ) = Σ (2l + 1) il eiδl Pl (cos θ) (eikr /r)

ここでの条件は：

• P_lはルジャンドル多項式です。
• δ_lはポテンシャルに関する情報を含む位相シフトです。
• Σは異なる角運動量状態の総和です。

光学定理

光学定理は、全断面積を前方散乱振幅に関連付ける散乱理論の非常に有用な結果です。それは次のように与えられます：

σtotal = (4π/k) Im[f(0)]

ここで、σ_totalは断面積を、Imは虚数部を示し、f(0)は前方散乱振幅です。

Lippmann–Schwinger方程式

量子散乱理論のもう1つの中心的な方程式はLippmann-Schwinger方程式です。これは、相互作用ポテンシャルが与えられたときに散乱波動関数を計算するための積分方程式です。それは次のように書かれます：

ψ+ = φ + (1/E - H0 + iε) Vψ

この方程式の中で：

• ψ+は出ていく波動関数です。
• φは入射波動関数です。
• Vは相互作用ポテンシャルです。
• H₀は自由ハミルトニアンです。
• εは積分の収束を確保するために使用される非常に小さい正の数です。

視覚的表示

散乱をよりよく理解するために、視覚的表示を考えてみましょう。ここでは、球状のポテンシャルからの散乱の結果として、入射平面波が散乱する様子を示しています:

例と計算

量子散乱理論の適用方法を理解するために、いくつかの単純な例を見てみましょう：

1. 硬い球からの散乱

粒子が堅い球によって散乱されるシナリオを考えてみましょう。この相互作用は、球の表面以外の場所ではゼロであるポテンシャルとしてモデル化できます。このような場合、各部分波の位相シフトは、表面上の境界条件を一致させることによって与えられます。

2. 湯川ポテンシャル

湯川ポテンシャルは、核物理学で一般的に見られる古典的な例です。それは次のように与えられます：

V(r) = -g (e-αr /r)

ここで、gは相互作用の強さを、αはしきい値を設定します。このポテンシャルでの散乱振幅を計算するには、Lippmann–Schwinger方程式を数値的に解く必要があります。

ボルン近似

弱いポテンシャルに対しては、ボルン近似が散乱振幅を計算する方法を提供します。第1次ボルン近似による散乱振幅は次のようになります：

f(θ, φ) ≈ -(2π²m/ħ²k) ∫V(r')ei(kk')·r' d³r'

この近似は、ポテンシャルが弱い場合や入射粒子の波長がポテンシャルの範囲よりもはるかに大きい場合に有効です。

結論

量子散乱理論は、量子相互作用の本質について深い洞察を提供する多用途で強力な枠組みです。それは、物理学のさまざまな分野で多くの実用的な応用の基礎を形成します。波動関数の美しい定式化、部分波解析、積分方程式の数値解法のいずれであれ、この理論は物理学者のツールキットに欠かせない部分です。

コメント