Pós-graduação
  1. Mecânica clássica  1.1. Cinemática Avançada  1.1.1. Generalized coordinate systems  1.1.2. Equações paramétricas de movimento  1.1.3. Referenciais não inerciais e forças fictícias  1.1.4. Formulação covariante do momento  1.1.5. Variável ação-ângulo  1.2. Mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana  1.2.1. Princípio da ação mínima  1.2.2. Equações de Euler-Lagrange  1.2.3. Teorema de Noether e leis de conservação  1.2.4. Velocidade Normalizada  1.2.5. Conversão canônica  1.2.6. Bracket de Poisson e teoria de Hamilton-Jacobi  1.2.7. Caos Hamiltoniano e Integrabilidade  1.3. Mobilidade de corpo rígido  1.3.1. Euler's equations of motion  1.3.2. Momentos principais de inércia  1.3.3. Movimento giroscópico e precessão  1.3.4. Tensor de inércia  1.3.5. Estabilidade da velocidade rotacional  1.4. Dinâmica não linear e caos  1.4.1. Análise de espaço de fase e estabilidade  1.4.2. Seções de Poincaré e teoria de bifurcação  1.4.3. Atractores Estranhos e Fractais  1.4.4. Expoente de Lyapunov  1.4.5. KAM theorem and quasi-periodic motion
  2. Eletromagnetismo  2.1. Eletrodinâmica Avançada  2.1.1. Função de Green e teoria do potencial  2.1.2. Expansão multipolar  2.1.3. Método de carga de imagem  2.1.4. Condições de contorno e teorema de unicidade  2.2. Propagação de ondas eletromagnéticas  2.2.1. Ondas planas em dielétricos e condutores  2.2.2. Waveguides and cavity resonators  2.2.3. Radiation pressure and optical tweezers  2.2.4. Polarização e cálculo de Jones  2.3. Eletrodinâmica relativística  2.3.1. Formulação covariante da eletrodinâmica  2.3.2. Potenciais de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiação de síncrotron e bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo eletromagnético e transformações de Lorentz  2.4. Física de plasma  2.4.1. Magnetohidrodinâmica  2.4.2. Blindagem de Debye e oscilações do plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén e confinamento em tokamak  2.4.4. Instabilidades de plasma e turbulência
  3. Mecânica estatística e termodinâmica  3.1. Termodinâmica Avançada  3.1.1. Transformadas de Legendre e potenciais termodinâmicos  3.1.2. Teorema da Flutuação–Dissipação  3.1.3. Relações interpessoais de Onsager  3.1.4. Critical events and phase transitions  3.2. Mecânica estatística quântica  3.2.1. Teoria de Matriz Densidade e Conjuntos  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transição de fase quântica  3.2.4. Estatísticas de Fermi–Dirac e Bose–Einstein  3.2.5. Funções de partição e ensembles grand canônicos
  4. Mecânica quântica  4.1. Mecânica de ondas avançada  4.1.1. Aproximação WKB  4.1.2. Formulação de integrais de caminho  4.1.3. Oscilador harmônico quântico e estados coerentes  4.2. Momento angular e spin  4.2.1. Spherical Harmonics  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamento spin-órbita  4.3. Teoria do espalhamento quântico  4.3.1. Born approximation  4.3.2. Análise de onda parcial  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. S-matrix theory  4.4. Quantum field theory  4.4.1. Segunda Quantização  4.4.2. Diagramas de Feynman e propagadores  4.4.3. Teoria da Renormalização  4.4.4. Gauge theory and Yang–Mills fields  4.4.5. Quebra espontânea de simetria e o mecanismo de Higgs
  5. Relatividade geral e cosmologia  5.1. Cálculo tensorial e geometria diferencial  5.1.1. Equações de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild e Kerr  5.1.3. Geodésicas e símbolos de Christoffel  5.2. Cosmologia e o Universo  5.2.1. A métrica FLRW e a inflação cósmica  5.2.2. Energia escura e formação de estruturas  5.2.3. Radiação cósmica de fundo em micro-ondas
  6. Física da matéria condensada  6.1. Estrutura de bandas e teoria do transporte  6.1.1. Teorema de Bloch e o modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topologia da superfície de Fermi  6.1.3. Efeito Hall Quântico  6.2. Supercondutividade  6.2.1. Teoria BCS e pares de Cooper  6.2.2. Efeito Meissner e quantização de fluxo  6.2.3. The Josephson Effect and SQUIDs  6.3. Fases topológicas da matéria  6.3.1. Isolantes Topológicos  6.3.2. Fermions de Majorana em fases topológicas da matéria
  7. Física Nuclear e de Partículas  7.1. Cromodinâmica Quântica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks e glúons  7.1.2. Liberdade Assintótica  7.1.3. Confinamento e hadronização  7.2. Além do Modelo Padrão  7.2.1. Teorias de Grande Unificação  7.2.2. Supersimetria e dimensões extras  7.2.3. Oscilações de neutrinos

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Teoria do espalhamento quântico


A teoria do espalhamento quântico é uma parte fundamental da mecânica quântica que lida com a interação de partículas. É usada principalmente para entender e descrever como partículas como elétrons, prótons ou mesmo átomos e moléculas se espalham após interagir umas com as outras ou com um potencial. Esta teoria é essencial em campos como física atômica, nuclear e de matéria condensada.

Conceitos básicos

Para entender a teoria do espalhamento quântico, é importante primeiro compreender teorias quânticas básicas como a função de onda e a equação de Schrödinger. A função de onda descreve o estado quântico de um sistema e é usualmente representada pelo símbolo ψ (psi). A equação de Schrödinger governa a evolução destas funções de onda:

iℏ (∂ψ/∂t) = Hψ

Onde:

  • i é a unidade imaginária.
  • ℏ (h-bar) é a constante de Planck reduzida.
  • H é o operador Hamiltoniano representando a energia total do sistema.

Processo de espalhamento

Em um evento de espalhamento, uma onda incidente, como um feixe de partículas, incide sobre um alvo ou potencial. As partículas interagem com este alvo, resultando em ondas espalhadas que viajam em diferentes direções. Um aspecto essencial desse processo é determinar a probabilidade de as partículas se espalharem em uma direção específica. Esta probabilidade é descrita pela amplitude de espalhamento, denotada como f(θ, φ), onde θ e φ são ângulos que indicam a direção do espalhamento.

Função de onda em espalhamento

Na mecânica quântica, geralmente usamos dois tipos de funções de onda para descrever o espalhamento:

  • Onda plana incidente: representa partículas incidentes e geralmente é escrita como: 
    ψin = ei(𝐤·𝐫 - ωt)
  • Onda espalhada: Descreve as partículas após o espalhamento. É frequentemente esfericamente simétrica e é dada como segue: 
    ψsc = f(θ, φ) (eikr /r)
Aqui, k é o número de onda, que está relacionado à energia das partículas, e r é a distância do centro de espalhamento.

Análise de ondas parciais

Um método de simplificar problemas de espalhamento é a análise de ondas parciais. Nesse método, a função de onda é expandida em uma série de harmônicos esféricos. Isso se torna particularmente útil porque cada termo da série (chamado de onda parcial) pode ser analisado de forma independente. A função de onda total pode ser expressa como:

ψ(r, θ, φ) = Σ (2l + 1) il eiδl Pl (cos θ) (eikr /r)

Onde as condições são:

  • Pl são polinômios de Legendre.
  • δl é o deslocamento de fase, que contém informações sobre o potencial.
  • Σ representa a soma dos diferentes estados de momento angular.

Teorema óptico

O teorema óptico é um resultado notável e muito útil na teoria do espalhamento, que relaciona a seção transversal total à amplitude de espalhamento para frente. É dado como:

σtotal = (4π/k) Im[f(0)]

Aqui, σtotal é a seção transversal, Im indica a parte imaginária, e f(0) é a amplitude de espalhamento para frente.

Equação de Lippmann–Schwinger

Outra equação central na teoria do espalhamento quântico é a equação de Lippmann-Schwinger. Esta é uma equação integral que fornece um meio de calcular a função de onda espalhada dado o potencial de interação. É escrita como:

ψ+ = φ + (1/E - H0 + iε) Vψ

Nesta equação:

  • ψ+ é a função de onda de saída.
  • φ é a função de onda incidente.
  • V é o potencial de interação.
  • H0 é o Hamiltoniano livre.
  • ε é um número positivo muito pequeno usado para garantir a convergência da integral.

Representação visual

Para melhor entender o espalhamento, vamos considerar uma representação visual. Aqui, representamos uma onda plana incidente que se espalha de um potencial esférico, resultando em uma onda esférica de saída:

A onda incidente Ondas espalhadas

Exemplos e cálculos

Para entender como a teoria do espalhamento quântico é aplicada, vamos examinar alguns exemplos simples:

1. Espalhamento de uma esfera rígida

Considere um cenário onde partículas são espalhadas por uma bola rígida. Esta interação pode ser modelada como um potencial que é zero em todos os lugares, exceto na superfície da esfera. Nestes casos, o deslocamento de fase para cada onda parcial é dado ao se igualarem as condições de contorno na superfície.

2. Potencial de Yukawa

O potencial de Yukawa é outro exemplo clássico, comumente encontrado na física nuclear. É dado como:

V(r) = -g (e-αr /r)

Aqui, g é a força da interação, e α define o limite. Calcular a amplitude de espalhamento com este potencial envolve resolver a equação de Lippmann–Schwinger numericamente.

Aproximação de Born

Para potenciais fracos, a aproximação de Born fornece um meio de calcular as amplitudes de espalhamento. A aproximação de Born de primeira ordem para a amplitude de espalhamento é:

f(θ, φ) ≈ -(2π²m/ħ²k) ∫V(r')ei(kk')·r' d³r'

Esta aproximação é válida quando o potencial é fraco ou o comprimento de onda da partícula incidente é muito maior do que o alcance do potencial.

Conclusão

A teoria do espalhamento quântico é uma estrutura versátil e poderosa que fornece insights profundos sobre a natureza das interações quânticas. Ela forma a base de muitas aplicações práticas em vários campos da física. Seja a bela formulação de funções de onda, análise de ondas parciais ou soluções numéricas de equações integrais, a teoria é uma parte indispensável do kit de ferramentas do físico.


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