Магистрант
  1. Классическая механика  1.1. Продвинутая кинематика  1.1.1. Обобщенные системы координат  1.1.2. Параметрические уравнения движения  1.1.3. Неинерциальные системы и фиктивные силы  1.1.4. Ковариантная формулировка импульса  1.1.5. Action-angle variable  1.2. Лагранжева и гамильтонова механика  1.2.1. Принцип минимального действия  1.2.2. Уравнения Эйлера-Лагранжа  1.2.3. Теорема Нётер и законы сохранения  1.2.4. Нормализованная скорость  1.2.5. Каноническое преобразование  1.2.6. Скобка Пуассона и теория Гамильтона–Якоби  1.2.7. Гамильтонова хаоса и интегрируемость  1.3. Мобильность жесткого тела  1.3.1. Euler's equations of motion  1.3.2. Principal moments of inertia  1.3.3. Гироскопическое движение и прецессия  1.3.4. Тензор инерции  1.3.5. Стабильность скорости вращения  1.4. Нелинейная динамика и хаос  1.4.1. Phase space and stability analysis  1.4.2. Секции Пуанкаре и теория бифуркации  1.4.3. Странные аттракторы и фракталы  1.4.4. Показатель Ляпунова  1.4.5. Теорема КАМ и квазипериодическое движение
  2. Электромагнетизм  2.1. Advanced Electrodynamics  2.1.1. Функция Грина и теория потенциала  2.1.2. Multipole expansion  2.1.3. Метод заряда изображения  2.1.4. Граничные условия и теорема о единственности  2.2. Распространение электромагнитных волн  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Волноводы и резонаторы  2.2.3. Давление излучения и оптические пинцеты  2.2.4. Поляризация и теорема Джонса  2.3. Релятивистская электродинамика  2.3.1. Covariant formulation of electrodynamics  2.3.2. Потенциалы Лиенара-Вихерта  2.3.3. Синхротронное излучение и тормозное излучение  2.3.4. Тензор электромагнитного поля и преобразования Лоренца  2.4. Физика плазмы  2.4.1. Magnetohydrodynamics  2.4.2. Экранирование Дебая и плазменные колебания  2.4.3. Волны Альфвена и удержание в токамаке  2.4.4. Нестабильности и турбулентность в плазме
  3. Статистическая механика и термодинамика  3.1. Продвинутая термодинамика  3.1.1. Преобразования Лежандра и термодинамические потенциалы  3.1.2. Теорема флуктуаций-диссипации  3.1.3. Онсагерские взаимные отношения  3.1.4. Critical events and phase transitions  3.2. Квантовая статистическая механика  3.2.1. Density Matrix and Ensemble Theory  3.2.2. Конденсаты Бозе – Эйнштейна  3.2.3. Квантовый фазовый переход  3.2.4. Статистика Ферми–Дирака и Бозе–Эйнштейна  3.2.5. Функции распределения и большие канонические ансамбли
  4. Квантовая механика  4.1. Углубленная механика волн  4.1.1. Приближение ВКБ  4.1.2. Формулировка с использованием интегралов по путям  4.1.3. Quantum harmonic oscillator and coherent states  4.2. Угловой момент и спин  4.2.1. Сферические Гармоники  4.2.2. Клебш–Гордан коэффициент  4.2.3. Теорема Вигнера–Экарта  4.2.4. Спин-орбитальное взаимодействие  4.3. Теория квантового рассеяния  4.3.1. Приближение Борна  4.3.2. Анализ частичных волн  4.3.3. Оптическая теорема  4.3.4. Теория S-матрицы  4.4. Quantum field theory  4.4.1. Вторая квантование  4.4.2. Диаграммы Фейнмана и пропагаторы  4.4.3. Теория перенормировки  4.4.4. Gauge theory and Yang–Mills fields  4.4.5. Спонтанное нарушение симметрии и механизм Хиггса
  5. Общая теория относительности и космология  5.1. Тензорное исчисление и дифференциальная геометрия  5.1.1. Уравнения Эйнштейна  5.1.2. Метрики Шварцшильда и Керра  5.1.3. Геодезия и символы Христоффеля  5.2. Космология и Вселенная  5.2.1. Метрика Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера и космическая инфляция  5.2.2. Темная энергия и образование структур  5.2.3. Космическое микроволновое фоновое излучение
  6. Физика конденсированного состояния  6.1. Структура зон и теория переноса  6.1.1. Теорема Блоха и модель Кронига-Пенни  6.1.2. Топология поверхности Ферми  6.1.3. Квантовый эффект Холла  6.2. Superconductivity  6.2.1. BCS theory and Cooper pairs  6.2.2. Эффект Мейснера и квантизация потока  6.2.3. The Josephson Effect and SQUIDs  6.3. Топологические фазы вещества  6.3.1. Топологические изоляторы  6.3.2. Фермионы Майораны в топологических фазах материи
  7. Nuclear and Particle Physics  7.1. Квантовая хромодинамика (КХД)  7.1.1. Кварк-глюонная плазма  7.1.2. Асимптотическая свобода  7.1.3. Конфайнмент и адронизация  7.2. За пределами Стандартной модели  7.2.1. Великие объединённые теории  7.2.2. Суперсимметрия и дополнительные измерения  7.2.3. Neutrino oscillations

Магистрант → Квантовая механика ↓


Теория квантового рассеяния


Теория квантового рассеяния является фундаментальной частью квантовой механики, которая изучает взаимодействие частиц. Она в основном используется для понимания и описания того, как электроны, протоны или даже атомы и молекулы рассеиваются после взаимодействия друг с другом или с потенциалом. Эта теория является важной в таких областях, как атомная, ядерная и физика конденсированного состояния.

Основные концепции

Чтобы понять теорию квантового рассеяния, важно сначала понять основные квантовые теории, такие как волновая функция и уравнение Шрёдингера. Волновая функция описывает квантовое состояние системы и обычно обозначается символом ψ (пси). Уравнение Шрёдингера описывает эволюцию этих волновых функций:

iℏ (∂ψ/∂t) = Hψ

Где:

  • i — мнимая единица.
  • ℏ (h-черта) — приведённая постоянная Планка.
  • H — гамильтониан, представляющий полную энергию системы.

Процесс рассеяния

В событии рассеяния входящая волна, например, пучок частиц, падает на цель или потенциал. Частицы взаимодействуют с этой целью, в результате чего рассеивающиеся волны распространяются в разных направлениях. Важным аспектом этого процесса является определение того, насколько вероятно, что частицы рассеются в определённом направлении. Эта вероятность описывается амплитудой рассеяния, обозначаемой как f(θ, φ), где θ и φ — углы, указывающие направление рассеяния.

Волновая функция в рассеянии

В квантовой механике мы обычно используем два типа волновых функций для описания рассеяния:

  • Входящая плоская волна: представляет входящие частицы и обычно записывается как: 
    ψin = ei(𝐤·𝐫 - ωt)
  • Рассеянная волна: описывает частицы после рассеяния. Часто она сферически симметрична и записывается следующим образом: 
    ψsc = f(θ, φ) (eikr /r)
Здесь, k — волновое число, связанное с энергией частиц, а r — расстояние от центра рассеяния.

Анализ частичных волн

Один из методов упрощения задач рассеяния — это анализ частичных волн. В этом методе волновая функция раскладывается в ряд сферических гармоник. Это особенно полезно, так как каждый член ряда (называемый частичной волной) может рассматриваться независимо. Полная волновая функция может быть выражена как:

ψ(r, θ, φ) = Σ (2l + 1) il eiδl Pl (cos θ) (eikr /r)

Где условия:

  • Pl — полиномы Лежандра.
  • δl — фазовый сдвиг, содержащий информацию о потенциале.
  • Σ обозначает сумму различных состояний углового момента.

Оптическая теорема

Оптическая теорема — это замечательный и очень полезный результат в теории рассеяния, который связывает общий сечение с амплитудой прямого рассеяния. Она записывается как:

σtotal = (4π/k) Im[f(0)]

Здесь σtotal — это сечение, Im обозначает мнимую часть, а f(0) — амплитуда прямого рассеяния.

Уравнение Липпмана-Швингера

Ещё одно центральное уравнение в теории квантового рассеяния — это уравнение Липпмана-Швингера. Это интегральное уравнение, которое предоставляет способ расчёта рассеянной волновой функции с учётом потенциала взаимодействия. Оно пишется следующим образом:

ψ+ = φ + (1/E - H0 + iε) Vψ

В этом уравнении:

  • ψ+ — исходящая волновая функция.
  • φ — падающая волновая функция.
  • V — потенциал взаимодействия.
  • H0 — свободный гамильтониан.
  • ε — очень маленькое положительное число, используемое для обеспечения сходимости интеграла.

Визуальное представление

Чтобы лучше понять рассеяние, давайте рассмотрим визуальное представление. Здесь изображена падающая плоская волна, рассеивающаяся от сферического потенциала, приводя к сферической исходящей волне:

Входящая волна Рассеянные волны

Примеры и вычисления

Чтобы понять, как применяется теория квантового рассеяния, давайте рассмотрим некоторые простые примеры:

1. Рассеяние от жёсткой сферы

Рассмотрим ситуацию, когда частицы рассеяны жёстким шаром. Это взаимодействие можно моделировать как потенциал, равный нулю везде, кроме поверхности сферы. В таких случаях фазовый сдвиг для каждой частичной волны задаётся путём совпадения граничных условий на поверхности.

2. Потенциал Юкавы

Потенциал Юкавы — ещё один классический пример, часто встречающийся в ядерной физике. Он записывается как:

V(r) = -g (e-αr /r)

Здесь g — сила взаимодействия, а α устанавливает порог. Расчёт амплитуды рассеяния с этим потенциалом включает решение уравнения Липпмана-Швингера численно.

Приближение Борна

Для слабых потенциалов приближение Борна предоставляет способ расчёта амплитуд рассеяния. Приближение первого порядка Борна для амплитуды рассеяния выглядит следующим образом:

f(θ, φ) ≈ -(2π²m/ħ²k) ∫V(r')ei(kk')·r' d³r'

Это приближение действительно, когда потенциал слабый или длина волны входящей частицы значительно больше диапазона потенциала.

Заключение

Теория квантового рассеяния — это универсальная и мощная структура, предоставляющая глубокое понимание природы квантовых взаимодействий. Она формирует основу для многих практических применений в различных областях физики. Будь то красивая формулировка волновых функций, анализ частичных волн или численные решения интегральных уравнений, эта теория является незаменимой частью арсенала физика.


Магистрант → 4.3


U
username
0%
завершено в Магистрант

← Предыдущий (4.2.4)
Спин-орбитальное взаимодействие
Следующий (4.3.1) →
Приближение Борна

Комментарии 



Теория квантового рассеяния

https://www.physicsflow.com/g/4.3?pfal=ru