Segunda Quantização

A segunda quantização é uma estrutura poderosa em mecânica quântica e teoria de campos quânticos que permite aos físicos estudar sistematicamente sistemas que contêm números variados de partículas idênticas. Ao contrário da primeira quantização, onde as partículas são tratadas como entidades separadas, a segunda quantização trata os campos como entidades fundamentais e as partículas são vistas como excitações desses campos.

Por que segunda quantização?

Considere um sistema de múltiplas partículas, como um aglomerado de elétrons em um metal. Descrever esse sistema usando a primeira quantização pode ser complicado porque envolve lidar com funções de onda para cada partícula. Além disso, essas partículas são indistinguíveis, de modo que sua troca não deve levar a nenhuma diferença observável, conhecida como simetria de troca. Isso se torna facilmente gerenciável no formalismo da segunda quantização.

Noções básicas de quantização

A segunda quantização começa associando um operador de campo ao campo quântico. Este operador de campo cria ou aniquila partículas em cada ponto do espaço. A notação usual é:

ψ(x)

Aqui, ψ(x) pode ser um operador de campo que cria ou destrói uma partícula no ponto x. Se você tem uma função de onda φ(x) na primeira quantização, na segunda quantização, ela evolui para atuar em um estado de vácuo, representado como |0⟩, que representa nenhuma partícula:

ψ(x)|0⟩ = |x⟩

Operadores de criação e aniquilação

Os operadores de criação (a†) e aniquilação (a) formam a espinha dorsal das operações neste enquadramento. Quando aplicados a estados quânticos, eles adicionam ou removem partículas:

a†|n⟩ = √(n+1) |n+1⟩

Isso indica que aplicar o operador de criação a† a um estado com n partículas |n⟩ transforma-o em um estado com n+1 partículas.

a|n⟩ = √n |n-1⟩

Isso indica que aplicar o operador de aniquilação a a um estado |n⟩ com n partículas transforma esse estado em um estado com n-1 partículas.

Relações de troca

Para bósons (partículas que obedecem as estatísticas de Bose–Einstein), os operadores de criação e aniquilação satisfazem as seguintes relações de troca:

[a_i, a_j†] = δ_ij

[a_i, a_j] = 0

[a_i†, a_j†] = 0

Aqui, δ_ij é a função delta de Kronecker, que é 1 quando i = j, 0 caso contrário.

---

Para férmions (partículas que seguem as estatísticas de Fermi–Dirac), esses operadores satisfazem as relações de anticomutação:

{a_i, a_j†} = δ_ij

{a_i, a_j} = 0

{a_i†, a_j†} = 0

Representação visual de estados de partículas

Considere a seguinte abordagem simples:

Este diagrama mostra um estado quântico com duas partículas. Aplicar o operador de criação para adicionar outra partícula alteraria-o da seguinte forma:

Hamiltoniano na segunda quantização

Na mecânica quântica, o Hamiltoniano representa a energia total do sistema. Na segunda quantização, ele é expresso em termos de operadores de criação e aniquilação. Por exemplo, para uma grade de partículas livres, o Hamiltoniano pode ser assim:

H = Σ_k ε_k a_k† a_k

onde ε_k representa a energia de uma partícula no estado k. É mais geral do que o Hamiltoniano direto na primeira quantização e pode descrever uma variedade de interações e processos.

Aplicações da segunda quantização

Sistemas de muitos corpos

A segunda quantização torna o trabalho com sistemas de muitos corpos muito mais simples. Por exemplo, na física da matéria condensada, ela fornece uma descrição natural de fenômenos coletivos como supercondutividade e superfluidez.

Teoria de campos quânticos (QFT)

Na teoria de campos quânticos, as partículas são tratadas como excitações de campo, possibilitando um tratamento unificado de partículas e campos. Isso abre caminho para a unificação da mecânica quântica e da relatividade especial.

Física de partículas e eletrodinâmica quântica (QED)

A segunda quantização constitui a base da eletrodinâmica quântica (QED) e do modelo padrão da física de partículas, tornando-a indispensável para o entendimento da física moderna.

Exemplo: sistemas bosônicos e fermiônicos

Considere um simples sistema bosônico de fônons (quantos de energia vibracional) modelado com o Hamiltoniano:

H = Σ_k ħω_k (a_k† a_k + 1/2)

Aqui, cada quantum do campo vibratório é tratado como um bóson com energia ħω_k. Em contraste, para férmions como elétrons, o princípio de exclusão de Pauli entra em cena:

H = Σ_k ε_k (b_k† b_k)

No caso fermiônico, cada estado está ocupado ou não, refletindo o princípio da exclusão de Pauli.

Conclusão

A segunda quantização fornece uma estrutura sistemática e elegante para lidar com sistemas quânticos contendo muitas partículas. Ao focar nos campos e suas excitações em vez de nas partículas individuais, as teorias da física tornam-se mais simples e frequentemente mais naturais. Seja lidando com sistemas de matéria condensada, partículas elementares ou teorias de campos quânticos avançadas, a segunda quantização é uma ferramenta essencial na física moderna.

Comentários