Вторая квантование

Вторая квантование - это мощная концепция в квантовой механике и теории квантового поля, которая позволяет физикам систематически изучать системы, содержащие переменное количество одинаковых частиц. В отличие от первой квантования, где частицы рассматриваются как отдельные сущности, вторая квантование рассматривает поля как основные сущности, а частицы рассматриваются как возбуждения этих полей.

Почему вторая квантование?

Рассмотрим многочастичную систему, такую как кластер электронов в металле. Описание этой системы с помощью первой квантования может быть сложным, так как необходимо учитывать волновые функции для каждой частицы. Также эти частицы неразличимы, и их обмен не должен приводить к каким-либо наблюдаемым различиям, известным как симметрия замены. Вторая квантование формализует это и делает управление таким обменом много проще.

Основы квантования

Вторая квантование начинается с ассоциации операторов поля с квантовым полем. Это поле создает или уничтожает частицы в каждой точке пространства. Обычно используется следующая нотация:

ψ(x)

Здесь ψ(x) может быть оператором поля, который создает или разрушает частицу в точке x. Если в первой квантовании у вас есть волновая функция φ(x), то во второй квантовании она действует на вакуумное состояние, обозначаемое как |0⟩, которое представляет собой отсутствие частиц:

ψ(x)|0⟩ = |x⟩

Операторы создания и уничтожения

Операторы создания (a†) и уничтожения (a) составляют основу операций в этой концепции. Когда они применяются к квантовым состояниям, они добавляют или удаляют частицы:

a†|n⟩ = √(n+1) |n+1⟩

Это показывает, что применение оператора создания a† к состоянию с n частицами |n⟩ превращает его в состояние с n+1 частицами.

a|n⟩ = √n |n-1⟩

Это показывает, что применение оператора уничтожения a к состоянию |n⟩ с n частицами превращает это состояние в состояние с n-1 частицами.

Соотношения замены

Для бозонов (частицы, подчиняющиеся статистике Бозе-Эйнштейна) операторы создания и уничтожения удовлетворяют следующим соотношениям замены:

[a_i, a_j†] = δ_ij

[a_i, a_j] = 0

[a_i†, a_j†] = 0

Здесь δ_ij - это дельта-функция Кронекера, которая равна 1, когда i = j, 0 в противном случае.

---

Для фермионов (частицы, подчиняющиеся статистике Ферми-Дирака) эти операторы удовлетворяют антикоммутационным соотношениям:

{a_i, a_j†} = δ_ij

{a_i, a_j} = 0

{a_i†, a_j†} = 0

Визуальное изображение состояний частиц

Рассмотрим следующий простой подход:

Эта диаграмма показывает квантовое состояние с двумя частицами. Применение оператора создания для добавления еще одной частицы изменит его следующим образом:

Гамильтониан вторая квантование

В квантовой механике гамильтониан представляет собой полную энергию системы. Вторая квантование выражает его через операторы создания и уничтожения. Например, для свободной частицы на сетке гамильтониан может выглядеть следующим образом:

H = Σ_k ε_k a_k† a_k

где ε_k представляет собой энергию частицы в состоянии k. Это более общий подход, чем прямой гамильтониан в первой квантовании, и он может описывать множество взаимодействий и процессов.

Применения второй квантование

Многотельные системы

Вторая квантование делает работу с многотельными системами гораздо проще. Например, в физике конденсированных сред она предоставляет естественное описание коллективных явлений, таких как сверхпроводимость и сверхтекучесть.

Теория квантового поля (QFT)

В теории квантового поля частицы рассматриваются как возбуждения полей, что позволяет объединенно рассмотреть частицы и поля. Это открывает путь для объединения квантовой механики и специальной теории относительности.

Физика частиц и квантовая электродинамика (QED)

Вторая квантование составляет основу квантовой электродинамики (QED) и стандартной модели физики частиц, делая ее незаменимой для понимания современной физики.

Пример: бозонные и фермионные системы

Рассмотрим простую бозонную систему фононов (кванты колебательной энергии), смоделированную с помощью гамильтониана:

H = Σ_k ħω_k (a_k† a_k + 1/2)

Здесь каждый квант колебательного поля рассматривается как бозон с энергией ħω_k. В отличие от этого, для фермионов, таких как электроны, вступает в действие принцип Паули:

H = Σ_k ε_k (b_k† b_k)

В случае фермионов каждое состояние либо занято, либо нет, что отражает принцип запрета Паули.

Заключение

Вторая квантование предоставляет систематическую и изящную концепцию для работы с квантовыми системами, содержащими много частиц. Фокус на полях и их возбуждениях, а не на отдельных частицах, делает теории физики проще и зачастую более естественными. Работа с системами конденсированных сред, элементарными частицами или сложными квантовыми полями делает вторую квантование важным инструментом современной физики.

Комментарии