第二量子化

第二量子化是量子力学和量子场论中的一个强大框架，使物理学家能够系统地研究包含多个相同粒子的系统。与第一量子化中将粒子视为单独的实体不同，第二量子化将场视为基本实体，粒子被视为这些场的激发。

为什么选择第二量子化？

考虑一个多粒子系统，例如金属中的一簇电子。用第一量子化描述这个系统会很麻烦，因为它涉及到处理每个粒子的波函数。而且，这些粒子是不可区分的，所以它们的交换不应该导致任何可观测的差异，这被称为交换对称性。在第二量子化的形式主义下，这变得很容易处理。

量子化的基础

第二量子化首先通过关联一个场算符与量子场开始。这个场算符在空间的每一点创建或湮灭粒子。通常的标记是：

ψ(x)

在这里，ψ(x)可以是一个在点x创建或消灭粒子的场算符。如果你有一个在第一量子化中的波函数φ(x)，在第二量子化中，它演变为作用于真空态（|0⟩）上，代表没有粒子：

ψ(x)|0⟩ = |x⟩

产生和湮灭算符

产生（a†）和湮灭算符（a）构成了该框架操作的基础。当应用于量子态时，它们添加或移除粒子：

a†|n⟩ = √(n+1) |n+1⟩

这表示将产生算符a†应用于具有n个粒子的态|n⟩会将其转换为具有n+1个粒子的状态。

a|n⟩ = √n |n-1⟩

这表示将湮灭算符a应用于具有n个粒子的态|n⟩会将该态转换为具有n-1个粒子的状态。

交换关系

对于玻色子（遵循玻色-爱因斯坦统计的粒子），产生和湮灭算符满足以下交换关系：

[a_i, a_j†] = δ_ij

[a_i, a_j] = 0

[a_i†, a_j†] = 0

这里，δ_ij是克罗内克 delta 函数，当i = j时为1，否则为0。

对于费米子（遵循费米-狄拉克统计的粒子），这些算符满足反交换关系：

{a_i, a_j†} = δ_ij

{a_i, a_j} = 0

{a_i†, a_j†} = 0

粒子状态的视觉描述

考虑以下简单方法：

此图显示了一个具有两个粒子的量子态。应用产生算符来增加一个粒子会将其更改为如下所示：