Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Teoría de gauge y campos de Yang-Mills


Introducción

Las teorías de gauge y los campos de Yang-Mills juegan un papel central en nuestra comprensión de las fuerzas fundamentales en la física. En el núcleo de la teoría cuántica de campos (QFT), estos conceptos ayudan a describir interacciones como el electromagnetismo, la fuerza nuclear débil y la fuerza nuclear fuerte. Esta exposición discutirá en profundidad los conceptos básicos y las implicaciones de las teorías de gauge, destacando la naturaleza de los campos de Yang-Mills e ilustrando su importancia en la física moderna.

Comprensión de la simetría de gauge

La simetría de gauge se refiere a un tipo de simetría asociada con ciertos campos en física que pueden cambiarse sin cambiar el estado físico. Para entender esta idea, considere el caso simple del electromagnetismo. En el electromagnetismo, la simetría de gauge se expresa mediante transformaciones del potencial electromagnético.

Ejemplo: potencial electromagnético

En la electrodinámica clásica, el potencial electromagnético se describe mediante un campo vectorial A μ (donde μ representa índices espacio-temporales). Sin embargo, los campos eléctricos y magnéticos medibles reales surgen de las derivadas de este potencial:

F μν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ

La transformación de gauge puede entenderse como un desplazamiento en este potencial vectorial por el gradiente de algún campo escalar Λ:

→ A μ + ∂ μ ∂

Los campos físicos, F μν, permanecen sin cambios bajo esta transformación, reflejando la simetría de gauge inherente en el electromagnetismo.

Visualización: Transformación de gauge

Campo físico A μ ∂Aμ + ∂μ∈Λ (Teorías que describen Aμ) (las teorías que describen A μ + ∂ μ ≠ Λ)

Generalizaciones: del electromagnetismo a las teorías de gauge no abelianas

El concepto de simetría de gauge no se limita al electromagnetismo. Las teorías de gauge no abelianas, que forman la columna vertebral del modelo estándar de la física de partículas, extienden estas ideas aún más. En tales teorías, las transformaciones de gauge dependen de un conjunto de operaciones de simetría continua que no conmutan, de ahí el término "no abelianas".

Teoría de Yang-Mills

Las teorías de Yang-Mills, propuestas inicialmente por Chen-Ning Yang y Robert Mills en la década de 1950, generalizan la idea de la simetría de gauge, creando un marco que describe las fuerzas nucleares débil y fuerte. En estas teorías, los campos vectoriales llevan un espacio "interno" adicional asociado con grupos de simetría no conmutativos como SU(2) o SU(3).

La acción de Yang-Mills es una generalización de la acción electromagnética, caracterizada por una derivada covariante y bosones vectoriales adicionales que median las fuerzas. El lagrangiano de Yang-Mills se expresa como:

L = -1/4 * F A μν F μν A

Aquí, F a μν representa el tensor de intensidad de campo, con el índice a indicando los diferentes campos asociados con las simetrías de gauge en cuestión.

Visualización de teorías de gauge no abelianas

SU(2) SU(3) Grupo de simetría de gauge

Rol de los bosones de gauge

En teorías de gauge no abelianas, la invariancia de gauge introduce interacciones a través de bosones de gauge, que son análogos a los fotones en el electromagnetismo. Los bosones de gauge son portadores de fuerza; los cuantos de campo que median las fuerzas fundamentales. Por ejemplo, los gluones son bosones de gauge en la cromodinámica cuántica (QCD), que gobiernan la fuerza fuerte. De manera similar, los bosones W y Z median la fuerza débil.

La presencia de bosones de gauge cambia fundamentalmente la naturaleza de las interacciones, especialmente en el caso de la fuerza nuclear fuerte, ya que los gluones mismos portan carga de color y participan en interacciones fuertes.

Representación matemática de los bosones de gauge

En la formulación de Yang–Mills, los bosones de gauge aparecen naturalmente como parte de la derivada covariante. Considere un campo φ transformándose en alguna representación del grupo de gauge:

D μ ϕ = (∂ μ + ig A μ )ϕ

Aquí, A μ denota el campo de gauge, y g es la constante de acoplamiento. En este contexto, los campos de gauge se identifican con los bosones de gauge.

Campos de Yang-Mills y ruptura espontánea de simetría

Una característica notable de las teorías de gauge no abelianas es el mecanismo de ruptura espontánea de simetría, ejemplificado por el mecanismo de Higgs en la teoría electrodébil. En este proceso, un pequeño conjunto de simetrías emergentes permite que las partículas adquieran masa sin romper explícitamente la invariancia de gauge.

El ejemplo clásico de esto ocurre en el modelo de Glashow-Weinberg-Salam, donde el campo de Higgs adquiere un valor de expectación no nulo, resultando en una mezcla de los campos de gauge y los bosones W y Z ganando masa.

Visualización: el mecanismo de Higgs

φ Valores no nulos

Importancia en la física moderna

Las teorías de gauge y los campos de Yang-Mills han sido la piedra angular de la física de partículas. Forman la excitación detrás de nuestra comprensión de las interacciones en el nivel más fundamental y conducen a predicciones verificadas por descubrimientos empíricos, como la existencia de los bosones W y Z y el bosón de Higgs.

Su belleza matemática y principios de simetría inspiran la exploración más allá del Modelo Estándar, impulsando la búsqueda de teorías de gran unificación, teorías de cuerdas y más allá, y extendiendo la imaginación para imaginar una descripción unificada de la gravedad así como de todas las fuerzas fundamentales.

Ejemplo: Unificación de fuerzas

Se están realizando esfuerzos para unificar todas las fuerzas en una teoría coherente, que podría describirse posiblemente por un solo grupo de simetría a niveles de alta energía. Por ejemplo, el objetivo de una Teoría de Gran Unificación (GUT) es una simetría como SU(5) o SO(10), que incorpore los grupos de gauge inherentes en el Modelo Estándar.

Este tipo de teorías prometen nueva física a altas energías, y sugieren fenómenos como la decadencia del protón, supersimetría y la unificación de la gravedad a través de la expansión cuántica o correlaciones en el marco de la teoría de cuerdas.

En conclusión, las teorías de gauge y los campos de Yang-Mills no solo explican una amplia gama de fenómenos, sino que también apuntan a nuevas áreas de habilidad teórica y descubrimiento. Siguen siendo la columna vertebral teórica de exploraciones actuales y futuras en la física.


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