Pós-graduação
  1. Mecânica clássica  1.1. Cinemática Avançada  1.1.1. Generalized coordinate systems  1.1.2. Equações paramétricas de movimento  1.1.3. Referenciais não inerciais e forças fictícias  1.1.4. Formulação covariante do momento  1.1.5. Variável ação-ângulo  1.2. Mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana  1.2.1. Princípio da ação mínima  1.2.2. Equações de Euler-Lagrange  1.2.3. Teorema de Noether e leis de conservação  1.2.4. Velocidade Normalizada  1.2.5. Conversão canônica  1.2.6. Bracket de Poisson e teoria de Hamilton-Jacobi  1.2.7. Caos Hamiltoniano e Integrabilidade  1.3. Mobilidade de corpo rígido  1.3.1. Euler's equations of motion  1.3.2. Momentos principais de inércia  1.3.3. Movimento giroscópico e precessão  1.3.4. Tensor de inércia  1.3.5. Estabilidade da velocidade rotacional  1.4. Dinâmica não linear e caos  1.4.1. Análise de espaço de fase e estabilidade  1.4.2. Seções de Poincaré e teoria de bifurcação  1.4.3. Atractores Estranhos e Fractais  1.4.4. Expoente de Lyapunov  1.4.5. KAM theorem and quasi-periodic motion
  2. Eletromagnetismo  2.1. Eletrodinâmica Avançada  2.1.1. Função de Green e teoria do potencial  2.1.2. Expansão multipolar  2.1.3. Método de carga de imagem  2.1.4. Condições de contorno e teorema de unicidade  2.2. Propagação de ondas eletromagnéticas  2.2.1. Ondas planas em dielétricos e condutores  2.2.2. Waveguides and cavity resonators  2.2.3. Radiation pressure and optical tweezers  2.2.4. Polarização e cálculo de Jones  2.3. Eletrodinâmica relativística  2.3.1. Formulação covariante da eletrodinâmica  2.3.2. Potenciais de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiação de síncrotron e bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo eletromagnético e transformações de Lorentz  2.4. Física de plasma  2.4.1. Magnetohidrodinâmica  2.4.2. Blindagem de Debye e oscilações do plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén e confinamento em tokamak  2.4.4. Instabilidades de plasma e turbulência
  3. Mecânica estatística e termodinâmica  3.1. Termodinâmica Avançada  3.1.1. Transformadas de Legendre e potenciais termodinâmicos  3.1.2. Teorema da Flutuação–Dissipação  3.1.3. Relações interpessoais de Onsager  3.1.4. Critical events and phase transitions  3.2. Mecânica estatística quântica  3.2.1. Teoria de Matriz Densidade e Conjuntos  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transição de fase quântica  3.2.4. Estatísticas de Fermi–Dirac e Bose–Einstein  3.2.5. Funções de partição e ensembles grand canônicos
  4. Mecânica quântica  4.1. Mecânica de ondas avançada  4.1.1. Aproximação WKB  4.1.2. Formulação de integrais de caminho  4.1.3. Oscilador harmônico quântico e estados coerentes  4.2. Momento angular e spin  4.2.1. Spherical Harmonics  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamento spin-órbita  4.3. Teoria do espalhamento quântico  4.3.1. Born approximation  4.3.2. Análise de onda parcial  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. S-matrix theory  4.4. Quantum field theory  4.4.1. Segunda Quantização  4.4.2. Diagramas de Feynman e propagadores  4.4.3. Teoria da Renormalização  4.4.4. Gauge theory and Yang–Mills fields  4.4.5. Quebra espontânea de simetria e o mecanismo de Higgs
  5. Relatividade geral e cosmologia  5.1. Cálculo tensorial e geometria diferencial  5.1.1. Equações de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild e Kerr  5.1.3. Geodésicas e símbolos de Christoffel  5.2. Cosmologia e o Universo  5.2.1. A métrica FLRW e a inflação cósmica  5.2.2. Energia escura e formação de estruturas  5.2.3. Radiação cósmica de fundo em micro-ondas
  6. Física da matéria condensada  6.1. Estrutura de bandas e teoria do transporte  6.1.1. Teorema de Bloch e o modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topologia da superfície de Fermi  6.1.3. Efeito Hall Quântico  6.2. Supercondutividade  6.2.1. Teoria BCS e pares de Cooper  6.2.2. Efeito Meissner e quantização de fluxo  6.2.3. The Josephson Effect and SQUIDs  6.3. Fases topológicas da matéria  6.3.1. Isolantes Topológicos  6.3.2. Fermions de Majorana em fases topológicas da matéria
  7. Física Nuclear e de Partículas  7.1. Cromodinâmica Quântica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks e glúons  7.1.2. Liberdade Assintótica  7.1.3. Confinamento e hadronização  7.2. Além do Modelo Padrão  7.2.1. Teorias de Grande Unificação  7.2.2. Supersimetria e dimensões extras  7.2.3. Oscilações de neutrinos

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Gauge theory and Yang–Mills fields


Introduction

Gauge theories and Yang-Mills fields play a central role in our understanding of fundamental forces in physics. At the core of quantum field theory (QFT), these concepts help describe interactions such as electromagnetism, the weak nuclear force, and the strong nuclear force. This exposition will discuss in depth the basics and implications of gauge theories, highlighting the nature of Yang-Mills fields and illustrating their importance in modern physics.

Understanding gauge symmetry

Gauge symmetry refers to a type of symmetry associated with certain fields in physics that can be changed without changing the physical state. To understand this idea, consider the simple case of electromagnetism. In electromagnetism, gauge symmetry is expressed through transformations of the electromagnetic potential.

Example: electromagnetic potential

In classical electrodynamics, the electromagnetic potential is described by a vector field A μ (where μ represents space-time indices). However, the actual measurable electric and magnetic fields arise from derivatives of this potential:

F μν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ

The gauge transformation can be understood as a shift in this vector potential by the gradient of some scalar field Λ:

→ A μ + ∂ μ ∂

The physical fields, F μν, remain unchanged under this transformation, reflecting the gauge symmetry inherent in electromagnetism.

Visualization: Gauge Transformation

Physical field A μ ∂Aμ + ∂μ∈Λ (Theories describing Aμ) (the theories describing A μ + ∂ μ ≠ Λ)

Generalizations: from electromagnetism to non-abelian gauge theories

The concept of gauge symmetry is not limited to electromagnetism. Non-Abelian gauge theories, which form the backbone of the standard model of particle physics, extend these ideas further. In such theories, gauge transformations depend on a set of continuous symmetry operations that do not commute, hence the term "non-Abelian".

Yang–Mills theory

Yang–Mills theories, initially proposed by Chen-Ning Yang and Robert Mills in the 1950s, generalize the idea of gauge symmetry, creating a framework describing the weak and strong nuclear forces. In these theories, vector fields carry an additional "inner" space associated with non-commuting symmetry groups such as SU(2) or SU(3).

The Yang–Mills action is a generalization of the electromagnetic action, characterized by a covariant derivative and additional vector bosons that mediate the forces. The Yang–Mills Lagrangian is expressed as:

L = -1/4 * F A μν F μν A

Here, F a μν represents the field strength tensor, with the index a indicating the different fields associated with the gauge symmetries in question.

Visualization of non-abelian gauge theories

SU(2) SU(3) Gauge symmetry group

Role of gauge bosons

In non-abelian gauge theories, gauge invariance introduces interactions via gauge bosons, which are analogous to photons in electromagnetism. Gauge bosons are force carriers; field quanta that mediate the fundamental forces. For example, gluons are gauge bosons in quantum chromodynamics (QCD), which govern the strong force. Similarly, the W and Z bosons mediate the weak force.

The presence of gauge bosons fundamentally changes the nature of interactions, especially in the case of the strong nuclear force, since the gluons themselves carry color charge and participate in strong interactions.

Mathematical representation of gauge bosons

In the Yang–Mills formulation, gauge bosons appear naturally as part of the covariant derivative. Consider a field φ transforming in some representation of the gauge group:

D μ ϕ = (∂ μ + ig A μ )ϕ

Here, A μ denotes the gauge field, and g is the coupling constant. In this context, the gauge fields are identified with the gauge bosons.

Yang–Mills fields and spontaneous symmetry breaking

A notable feature of non-Abelian gauge theories is the mechanism of spontaneous symmetry breaking, exemplified by the Higgs mechanism in the electroweak theory. In this process, a small set of emergent symmetries allows particles to acquire mass without explicitly breaking gauge invariance.

The classic example of this occurs in the Glashow-Weinberg-Salam model, where the Higgs field acquires a non-zero vacuum expectation value, resulting in mixing of the gauge fields and the W and Z bosons gaining mass.

Visualization: the Higgs mechanism

φ Non-zero values

Importance in modern physics

Gauge theories and Yang-Mills fields have been the cornerstone of particle physics. They form the excitement behind our understanding of interactions at the most fundamental level and lead to predictions verified by empirical discoveries, such as the existence of the W and Z bosons and the Higgs boson.

Their mathematical beauty and symmetry principles inspire exploration beyond the Standard Model, spurring the search for grand unification theories, string theories and beyond, and stretching the imagination to imagine a unified description of gravity as well as all fundamental forces.

Example: Unifying force

Attempts are ongoing to unify all forces into a coherent theory, which could possibly be described by a single symmetry group at high energy levels. For example, the goal of a Grand Unified Theory (GUT) is a symmetry such as SU(5) or SO(10), which embeds the gauge groups inherent in the Standard Model.

Such theories promise new physics at high energies, and suggest phenomena such as proton decay, supersymmetry, and the unification of gravity through quantum expansion or correlations in the string theory framework.

In conclusion, gauge theories and Yang-Mills fields not only explain a wide range of phenomena, but also point to new areas of theoretical prowess and discovery. They remain the theoretical backbone of current and future explorations in physics.


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