Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

Posgrado → General relativity and cosmology → Cálculo tensorial y geometría diferencial ↓


Métricas de Schwarzschild y Kerr


Las métricas de Schwarzschild y Kerr son dos soluciones fundamentales de las ecuaciones de campo de Einstein en la relatividad general. Describen la geometría del espacio-tiempo alrededor de un agujero negro no rotante y uno rotante, respectivamente. Entender estas métricas implica adentrarse en los campos del cálculo tensorial y la geometría diferencial. Exploremos estos conceptos en detalle.

Introducción a la relatividad general

La relatividad general, propuesta por Albert Einstein en 1915, es una teoría de la gravedad que describe la gravedad como una propiedad de la curvatura del espacio-tiempo debido a la masa. Reemplazó la ley de gravitación universal de Newton y expandió nuestra comprensión de la gravedad para incluir los efectos de objetos masivos en la geometría del espacio-tiempo.

Las ecuaciones de campo de Einstein son un conjunto de diez ecuaciones diferenciales interrelacionadas. Estas ecuaciones expresan la geometría del espacio-tiempo, a través del tensor métrico, relacionando la distribución de la materia dentro de ese espacio-tiempo.

Cálculo tensorial

El cálculo tensorial es una extensión del álgebra lineal a dimensiones superiores, que se necesita para describir la física de los espacios curvados. En el contexto de la relatividad general, el tensor más importante es el tensor métrico, g μν , que describe la distancia entre puntos cercanos en el espacio-tiempo.

Los tensores de rango 2, como el tensor métrico, tienen componentes que dependen de dos índices. En un espacio-tiempo de cuatro dimensiones, esto se representa como una matriz 4x4:

        g μν =

            

                G 00 G 01 G 02 G 03
            

            

                G10 G11 G12 G 13
            

            

                G20 G21 G 22 G 23
            

            

                G30 G 31 G 32 G 33

El tensor métrico nos permite calcular distancias y ángulos en el espacio-tiempo curvado. Juega un papel importante en la descripción de los campos gravitatorios en la relatividad general.

Geometría diferencial

La geometría diferencial proporciona las herramientas para estudiar espacios curvados, lo cual es esencial para entender la estructura del espacio-tiempo en la relatividad general. Aquí, usamos conceptos como variedades, curvas, superficies y geodésicas.

  • Variedades: Una variedad es un espacio que se asemeja localmente al espacio euclidiano. En la relatividad general, tratamos con variedades de cuatro dimensiones que representan el espacio-tiempo.
  • Geodésicas: Estos son los caminos que siguen las partículas en el espacio-tiempo curvado, análogos a las líneas rectas en el espacio plano. Están determinadas por el tensor métrico.

Métrica de Schwarzschild

La métrica de Schwarzschild describe la geometría del espacio-tiempo alrededor de una masa estacionaria (no rotante), simétrica y esférica. Es la solución más simple a las ecuaciones de campo de Einstein. La métrica de Schwarzschild en coordenadas esféricas (t, r, θ, φ) se da como:

        ds² = -(1 - 2GM/c²r)c²dt² + (1 - 2GM/c²r) -1 dr² + r²(dθ² + sin²θdφ²)

Aquí, G es la constante gravitacional, M es la masa del objeto y c es la velocidad de la luz.

Consideremos dos ejemplos muy claros usando esta métrica:

  • Dilatación del tiempo: A medida que te acercas a un objeto masivo, el tiempo se ralentiza en relación con un observador distante. Esto se llama dilatación del tiempo gravitacional. Si un reloj se coloca a una distancia r de una masa M, entonces el tiempo experimentado por este reloj (tiempo propio) τ, en comparación con el tiempo experimentado por el observador distante (tiempo de coordenada) t, se da por: 
     τ = t√(1 - 2GM/c²r)
  • Horizonte de eventos: En r = 2GM/c², hay una singularidad de coordenadas en la métrica. Esto se conoce como el horizonte de eventos de un agujero negro. Es un punto de no retorno, más allá del cual nada puede escapar a la atracción gravitacional del agujero negro.

Métrica de Kerr

La métrica de Kerr describe la geometría del espacio-tiempo alrededor de una masa rotante (simétrica axialmente). Generaliza la solución de Schwarzschild al incluir el momento angular. La métrica de Kerr en coordenadas de Boyer–Lindquist es:

        ds² = -(c²dτ²) + (ρ²/Δ)dr² + ρ²dθ² + (r² + a²sin²θdφ² – 2GMr/c²ρ² (cdτ – a sin²θdφ)²

Dónde:

  • ρ² = r² + a²cos²θ
  • Δ = r² - 2GMr/c² + a²
  • a = J/Mc (momento angular por unidad de masa)

Dos resultados importantes de la métrica de Kerr son los siguientes:

  • Arrastre de estructuras: La rotación de un cuerpo masivo arrastra el espacio-tiempo junto con él. Este efecto, conocido como el efecto Lense-Thirring, significa que los objetos alrededor del cuerpo rotante son arrastrados junto con su rotación.
  • Ergosfera: La región fuera del horizonte de eventos donde los objetos no pueden permanecer en su lugar sin girar. Esto proporciona una forma de extraer energía rotacional del agujero negro: un proceso conocido como el proceso de Penrose.

Visualización de la curvatura del espacio-tiempo

Para visualizar la curvatura del espacio-tiempo debido a la masa, considera el ejemplo de una hoja de goma. Si colocas un objeto pesado en la hoja, crea una depresión. Esta depresión simula el comportamiento de la masa con el espacio-tiempo: lo curva, y esta curvatura es lo que observamos como gravedad.

trayectoria de la luz

En esta ilustración, el círculo representa un objeto masivo, como una estrella o planeta. La línea roja representa la trayectoria de la luz, que se curva debido a la curvatura del espacio-tiempo alrededor de la masa.

Aplicaciones en cosmología

Entender las métricas de Schwarzschild y Kerr es importante para predecir el comportamiento de los objetos celestes y las ondas gravitacionales. Algunas aplicaciones cosmológicas principales incluyen:

  • Agujeros negros: Ambas métricas proporcionan modelos fundamentales para estudiar la naturaleza de los agujeros negros. La métrica de Schwarzschild describe los agujeros negros no rotantes, mientras que la métrica de Kerr se aplica a los agujeros negros rotantes.
  • Ondas gravitacionales: La detección de ondas gravitacionales depende de las predicciones obtenidas de estas métricas. Ayudan a entender la dinámica de la fusión de agujeros negros.

Conclusión

Las métricas de Schwarzschild y Kerr son soluciones importantes en la relatividad general, proporcionando información sobre la naturaleza del espacio-tiempo en la presencia de objetos masivos. Revelan el fascinante comportamiento de los agujeros negros y tienen profundas implicaciones en la cosmología. Con el advenimiento de la tecnología moderna, las observaciones y experimentos continúan confirmando las predicciones de estas métricas, proporcionando una comprensión más profunda de nuestro universo.


Posgrado → 5.1.2


U
username
0%
completado en Posgrado

← Anterior (5.1.1)
Ecuaciones de campo de Einstein
Siguiente (5.1.3) →
Geodésicas y símbolos de Christoffel

Comentarios 



Métricas de Schwarzschild y Kerr

https://www.physicsflow.com/g/5.1.2?pfal=es