Pós-graduação
  1. Mecânica clássica  1.1. Cinemática Avançada  1.1.1. Generalized coordinate systems  1.1.2. Equações paramétricas de movimento  1.1.3. Referenciais não inerciais e forças fictícias  1.1.4. Formulação covariante do momento  1.1.5. Variável ação-ângulo  1.2. Mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana  1.2.1. Princípio da ação mínima  1.2.2. Equações de Euler-Lagrange  1.2.3. Teorema de Noether e leis de conservação  1.2.4. Velocidade Normalizada  1.2.5. Conversão canônica  1.2.6. Bracket de Poisson e teoria de Hamilton-Jacobi  1.2.7. Caos Hamiltoniano e Integrabilidade  1.3. Mobilidade de corpo rígido  1.3.1. Euler's equations of motion  1.3.2. Momentos principais de inércia  1.3.3. Movimento giroscópico e precessão  1.3.4. Tensor de inércia  1.3.5. Estabilidade da velocidade rotacional  1.4. Dinâmica não linear e caos  1.4.1. Análise de espaço de fase e estabilidade  1.4.2. Seções de Poincaré e teoria de bifurcação  1.4.3. Atractores Estranhos e Fractais  1.4.4. Expoente de Lyapunov  1.4.5. KAM theorem and quasi-periodic motion
  2. Eletromagnetismo  2.1. Eletrodinâmica Avançada  2.1.1. Função de Green e teoria do potencial  2.1.2. Expansão multipolar  2.1.3. Método de carga de imagem  2.1.4. Condições de contorno e teorema de unicidade  2.2. Propagação de ondas eletromagnéticas  2.2.1. Ondas planas em dielétricos e condutores  2.2.2. Waveguides and cavity resonators  2.2.3. Radiation pressure and optical tweezers  2.2.4. Polarização e cálculo de Jones  2.3. Eletrodinâmica relativística  2.3.1. Formulação covariante da eletrodinâmica  2.3.2. Potenciais de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiação de síncrotron e bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo eletromagnético e transformações de Lorentz  2.4. Física de plasma  2.4.1. Magnetohidrodinâmica  2.4.2. Blindagem de Debye e oscilações do plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén e confinamento em tokamak  2.4.4. Instabilidades de plasma e turbulência
  3. Mecânica estatística e termodinâmica  3.1. Termodinâmica Avançada  3.1.1. Transformadas de Legendre e potenciais termodinâmicos  3.1.2. Teorema da Flutuação–Dissipação  3.1.3. Relações interpessoais de Onsager  3.1.4. Critical events and phase transitions  3.2. Mecânica estatística quântica  3.2.1. Teoria de Matriz Densidade e Conjuntos  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transição de fase quântica  3.2.4. Estatísticas de Fermi–Dirac e Bose–Einstein  3.2.5. Funções de partição e ensembles grand canônicos
  4. Mecânica quântica  4.1. Mecânica de ondas avançada  4.1.1. Aproximação WKB  4.1.2. Formulação de integrais de caminho  4.1.3. Oscilador harmônico quântico e estados coerentes  4.2. Momento angular e spin  4.2.1. Spherical Harmonics  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamento spin-órbita  4.3. Teoria do espalhamento quântico  4.3.1. Born approximation  4.3.2. Análise de onda parcial  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. S-matrix theory  4.4. Quantum field theory  4.4.1. Segunda Quantização  4.4.2. Diagramas de Feynman e propagadores  4.4.3. Teoria da Renormalização  4.4.4. Gauge theory and Yang–Mills fields  4.4.5. Quebra espontânea de simetria e o mecanismo de Higgs
  5. Relatividade geral e cosmologia  5.1. Cálculo tensorial e geometria diferencial  5.1.1. Equações de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild e Kerr  5.1.3. Geodésicas e símbolos de Christoffel  5.2. Cosmologia e o Universo  5.2.1. A métrica FLRW e a inflação cósmica  5.2.2. Energia escura e formação de estruturas  5.2.3. Radiação cósmica de fundo em micro-ondas
  6. Física da matéria condensada  6.1. Estrutura de bandas e teoria do transporte  6.1.1. Teorema de Bloch e o modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topologia da superfície de Fermi  6.1.3. Efeito Hall Quântico  6.2. Supercondutividade  6.2.1. Teoria BCS e pares de Cooper  6.2.2. Efeito Meissner e quantização de fluxo  6.2.3. The Josephson Effect and SQUIDs  6.3. Fases topológicas da matéria  6.3.1. Isolantes Topológicos  6.3.2. Fermions de Majorana em fases topológicas da matéria
  7. Física Nuclear e de Partículas  7.1. Cromodinâmica Quântica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks e glúons  7.1.2. Liberdade Assintótica  7.1.3. Confinamento e hadronização  7.2. Além do Modelo Padrão  7.2.1. Teorias de Grande Unificação  7.2.2. Supersimetria e dimensões extras  7.2.3. Oscilações de neutrinos

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Métricas de Schwarzschild e Kerr


As métricas de Schwarzschild e Kerr são duas soluções fundamentais das equações de campo de Einstein na relatividade geral. Elas descrevem a geometria do espaço-tempo ao redor de um buraco negro não rotativo e rotativo, respectivamente. Compreender essas métricas envolve mergulhar nos campos do cálculo tensorial e da geometria diferencial. Vamos explorar esses conceitos em detalhes.

Introdução à relatividade geral

A relatividade geral, proposta por Albert Einstein em 1915, é uma teoria da gravidade que descreve a gravidade como uma propriedade da curvatura do espaço-tempo devido à massa. Ela substituiu a lei da gravitação universal de Newton e expandiu nossa compreensão da gravidade para incluir os efeitos de objetos maciços sobre a geometria do espaço-tempo.

As equações de campo de Einstein são um conjunto de dez equações diferenciais inter-relacionadas. Essas equações expressam a geometria do espaço-tempo, através do tensor métrico, relacionando a distribuição de matéria dentro desse espaço-tempo.

Cálculo tensorial

O cálculo tensorial é uma extensão da álgebra linear para dimensões superiores, que é necessária para descrever a física de espaços curvos. No contexto da relatividade geral, o tensor mais importante é o tensor métrico, gμν, que descreve a distância entre pontos próximos no espaço-tempo.

Tensores de ordem 2, como o tensor métrico, têm componentes que dependem de dois índices. Em um espaço-tempo de quatro dimensões, isso é representado como uma matriz 4x4:

        g μν =

            

                G 00 G 01 G 02 G 03
            

            

                G10 G11 G12 G 13
            

            

                G20 G21 G 22 G 23
            

            

                G30 G 31 G 32 G 33

O tensor métrico nos permite calcular distâncias e ângulos no espaço-tempo curvo. Ele desempenha um papel importante na descrição de campos gravitacionais na relatividade geral.

Geometria diferencial

A geometria diferencial fornece as ferramentas para estudar espaços curvos, o que é essencial para compreender a estrutura do espaço-tempo na relatividade geral. Aqui, usamos conceitos como variedades, curvas, superfícies e geodésicas.

  • Variedades: Uma variedade é um espaço que localmente se assemelha ao espaço euclidiano. Na relatividade geral, lidamos com variedades de quatro dimensões que representam o espaço-tempo.
  • Geodésicas: São os caminhos que as partículas seguem no espaço-tempo curvo, análogos a linhas retas no espaço plano. Elas são determinadas pelo tensor métrico.

Métrica de Schwarzschild

A métrica de Schwarzschild descreve a geometria do espaço-tempo ao redor de uma massa estacionária (não rotativa) e simétrica esfericamente. É a solução mais simples das equações de campo de Einstein. A métrica de Schwarzschild em coordenadas esféricas (t, r, θ, φ) é dada por:

        ds² = -(1 - 2GM/c²r)c²dt² + (1 - 2GM/c²r) -1 dr² + r²(dθ² + sin²θdφ²)

Aqui, G é a constante gravitacional, M é a massa do objeto e c é a velocidade da luz.

Vamos considerar dois exemplos muito claros usando essa métrica:

  • Dilatação temporal: À medida que você se aproxima de um objeto maciço, o tempo desacelera em relação a um observador distante. Isso é chamado de dilatação temporal gravitacional. Se um relógio for colocado a uma distância r de uma massa M, então o tempo experimentado por este relógio (tempo próprio) τ, em comparação com o tempo experimentado pelo observador distante (tempo coordenado) t, é dado por: 
     τ = t√(1 - 2GM/c²r)
  • Horizonte de eventos: Em r = 2GM/c², há uma singularidade de coordenada na métrica. Isso é conhecido como o horizonte de eventos de um buraco negro. É um ponto sem retorno, além do qual nada pode escapar da atração gravitacional do buraco negro.

Métrica de Kerr

A métrica de Kerr descreve a geometria do espaço-tempo ao redor de uma massa rotativa (simétrica axialmente). Ela generaliza a solução de Schwarzschild ao incluir o momento angular. A métrica de Kerr em coordenadas de Boyer-Lindquist é:

        ds² = -(c²dτ²) + (ρ²/Δ)dr² + ρ²dθ² + (r² + a²sin²θdφ² – 2GMr/c²ρ² (cdτ – a sin²θdφ)²

Onde:

  • ρ² = r² + a²cos²θ
  • Δ = r² - 2GMr/c² + a²
  • a = J/Mc (momento angular por unidade de massa)

Dois resultados importantes da métrica de Kerr são os seguintes:

  • Arrastamento de referencial: A rotação de um corpo maciço arrasta o espaço-tempo junto com ele. Esse efeito, conhecido como efeito de Lense-Thirring, significa que objetos ao redor do corpo rotativo são arrastados junto com sua rotação.
  • Ergosfera: A região fora do horizonte de eventos onde os objetos não podem permanecer em repouso sem girar. Isso fornece um meio de extrair energia rotacional do buraco negro - um processo conhecido como processo de Penrose.

Visualização da curvatura do espaço-tempo

Para visualizar a curvatura do espaço-tempo devido à massa, considere o exemplo de uma folha de borracha. Se você colocar um objeto pesado na folha, ele cria uma depressão. Essa depressão simula o comportamento da massa com o espaço-tempo – ela o curva, e essa curvatura é o que observamos como gravidade.

caminho da luz

Nesta ilustração, o círculo representa um objeto maciço, como uma estrela ou planeta. A linha vermelha representa o caminho da luz, que é dobrado devido à curvatura do espaço-tempo ao redor da massa.

Aplicações na cosmologia

Compreender as métricas de Schwarzschild e Kerr é importante para prever o comportamento dos objetos celestes e das ondas gravitacionais. Algumas das principais aplicações cosmológicas incluem:

  • Buracos negros: Ambas as métricas fornecem modelos fundamentais para o estudo da natureza dos buracos negros. A métrica de Schwarzschild descreve buracos negros não rotativos, enquanto a métrica de Kerr se aplica a buracos negros rotativos.
  • Ondas gravitacionais: A detecção de ondas gravitacionais depende das previsões obtidas a partir dessas métricas. Elas ajudam a entender a dinâmica da fusão de buracos negros.

Conclusão

As métricas de Schwarzschild e Kerr são soluções importantes na relatividade geral, fornecendo informações sobre a natureza do espaço-tempo na presença de objetos maciços. Elas revelam o comportamento fascinante dos buracos negros e têm profundas implicações na cosmologia. Com o advento da tecnologia moderna, observações e experimentos continuam a confirmar as previsões dessas métricas, proporcionando uma compreensão mais profunda do nosso universo.


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