Магистрант
  1. Классическая механика  1.1. Продвинутая кинематика  1.1.1. Обобщенные системы координат  1.1.2. Параметрические уравнения движения  1.1.3. Неинерциальные системы и фиктивные силы  1.1.4. Ковариантная формулировка импульса  1.1.5. Action-angle variable  1.2. Лагранжева и гамильтонова механика  1.2.1. Принцип минимального действия  1.2.2. Уравнения Эйлера-Лагранжа  1.2.3. Теорема Нётер и законы сохранения  1.2.4. Нормализованная скорость  1.2.5. Каноническое преобразование  1.2.6. Скобка Пуассона и теория Гамильтона–Якоби  1.2.7. Гамильтонова хаоса и интегрируемость  1.3. Мобильность жесткого тела  1.3.1. Euler's equations of motion  1.3.2. Principal moments of inertia  1.3.3. Гироскопическое движение и прецессия  1.3.4. Тензор инерции  1.3.5. Стабильность скорости вращения  1.4. Нелинейная динамика и хаос  1.4.1. Phase space and stability analysis  1.4.2. Секции Пуанкаре и теория бифуркации  1.4.3. Странные аттракторы и фракталы  1.4.4. Показатель Ляпунова  1.4.5. Теорема КАМ и квазипериодическое движение
  2. Электромагнетизм  2.1. Advanced Electrodynamics  2.1.1. Функция Грина и теория потенциала  2.1.2. Multipole expansion  2.1.3. Метод заряда изображения  2.1.4. Граничные условия и теорема о единственности  2.2. Распространение электромагнитных волн  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Волноводы и резонаторы  2.2.3. Давление излучения и оптические пинцеты  2.2.4. Поляризация и теорема Джонса  2.3. Релятивистская электродинамика  2.3.1. Covariant formulation of electrodynamics  2.3.2. Потенциалы Лиенара-Вихерта  2.3.3. Синхротронное излучение и тормозное излучение  2.3.4. Тензор электромагнитного поля и преобразования Лоренца  2.4. Физика плазмы  2.4.1. Magnetohydrodynamics  2.4.2. Экранирование Дебая и плазменные колебания  2.4.3. Волны Альфвена и удержание в токамаке  2.4.4. Нестабильности и турбулентность в плазме
  3. Статистическая механика и термодинамика  3.1. Продвинутая термодинамика  3.1.1. Преобразования Лежандра и термодинамические потенциалы  3.1.2. Теорема флуктуаций-диссипации  3.1.3. Онсагерские взаимные отношения  3.1.4. Critical events and phase transitions  3.2. Квантовая статистическая механика  3.2.1. Density Matrix and Ensemble Theory  3.2.2. Конденсаты Бозе – Эйнштейна  3.2.3. Квантовый фазовый переход  3.2.4. Статистика Ферми–Дирака и Бозе–Эйнштейна  3.2.5. Функции распределения и большие канонические ансамбли
  4. Квантовая механика  4.1. Углубленная механика волн  4.1.1. Приближение ВКБ  4.1.2. Формулировка с использованием интегралов по путям  4.1.3. Quantum harmonic oscillator and coherent states  4.2. Угловой момент и спин  4.2.1. Сферические Гармоники  4.2.2. Клебш–Гордан коэффициент  4.2.3. Теорема Вигнера–Экарта  4.2.4. Спин-орбитальное взаимодействие  4.3. Теория квантового рассеяния  4.3.1. Приближение Борна  4.3.2. Анализ частичных волн  4.3.3. Оптическая теорема  4.3.4. Теория S-матрицы  4.4. Quantum field theory  4.4.1. Вторая квантование  4.4.2. Диаграммы Фейнмана и пропагаторы  4.4.3. Теория перенормировки  4.4.4. Gauge theory and Yang–Mills fields  4.4.5. Спонтанное нарушение симметрии и механизм Хиггса
  5. Общая теория относительности и космология  5.1. Тензорное исчисление и дифференциальная геометрия  5.1.1. Уравнения Эйнштейна  5.1.2. Метрики Шварцшильда и Керра  5.1.3. Геодезия и символы Христоффеля  5.2. Космология и Вселенная  5.2.1. Метрика Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера и космическая инфляция  5.2.2. Темная энергия и образование структур  5.2.3. Космическое микроволновое фоновое излучение
  6. Физика конденсированного состояния  6.1. Структура зон и теория переноса  6.1.1. Теорема Блоха и модель Кронига-Пенни  6.1.2. Топология поверхности Ферми  6.1.3. Квантовый эффект Холла  6.2. Superconductivity  6.2.1. BCS theory and Cooper pairs  6.2.2. Эффект Мейснера и квантизация потока  6.2.3. The Josephson Effect and SQUIDs  6.3. Топологические фазы вещества  6.3.1. Топологические изоляторы  6.3.2. Фермионы Майораны в топологических фазах материи
  7. Nuclear and Particle Physics  7.1. Квантовая хромодинамика (КХД)  7.1.1. Кварк-глюонная плазма  7.1.2. Асимптотическая свобода  7.1.3. Конфайнмент и адронизация  7.2. За пределами Стандартной модели  7.2.1. Великие объединённые теории  7.2.2. Суперсимметрия и дополнительные измерения  7.2.3. Neutrino oscillations

Магистрант → Общая теория относительности и космология → Тензорное исчисление и дифференциальная геометрия ↓


Метрики Шварцшильда и Керра


Метрики Шварцшильда и Керра являются двумя фундаментальными решениями уравнений Эйнштейна в общей теории относительности. Они описывают геометрию пространства-времени вокруг невращающейся и вращающейся черной дыры соответственно. Понимание этих метрик включает в себя погружение в области тензорного исчисления и дифференциальной геометрии. Давайте подробно изучим эти концепции.

Введение в общую теорию относительности

Общая теория относительности, предложенная Альбертом Эйнштейном в 1915 году, является теорией гравитации, которая описывает гравитацию как свойство кривизны пространства-времени из-за массы. Она заменила закон всемирного тяготения Ньютона и расширила наше понимание гравитации, включая эффекты массивных объектов на геометрию пространства-времени.

Уравнения Эйнштейна представляют собой набор из десяти взаимосвязанных дифференциальных уравнений. Эти уравнения выражают геометрию пространства-времени через метрический тензор, связывая распределение материи в этом пространстве-времени.

Тензорное исчисление

Тензорное исчисление является расширением линейной алгебры на более высокие измерения, которое необходимо для описания физики изогнутых пространств. В контексте общей теории относительности самым важным тензором является метрический тензор g μν, который описывает расстояние между соседними точками в пространстве-времени.

Тензоры второго ранга, такие как метрический тензор, имеют компоненты, зависящие от двух индексов. В четырехмерном пространстве-времени это представлено как матрица 4x4:

        g μν =

            

                G 00 G 01 G 02 G 03
            

            

                G10 G11 G12 G 13
            

            

                G20 G21 G 22 G 23
            

            

                G30 G 31 G 32 G 33

Метрический тензор позволяет рассчитывать расстояния и углы в изогнутом пространстве-времени. Он играет важную роль в описании гравитационных полей в общей теории относительности.

Дифференциальная геометрия

Дифференциальная геометрия предоставляет инструменты для изучения изогнутых пространств, что необходимо для понимания структуры пространства-времени в общей теории относительности. Здесь мы используем такие понятия, как многообразия, кривые, поверхности и геодезические.

  • Многообразия: Многообразие — это пространство, которое локально напоминает евклидово пространство. В общей теории относительности мы имеем дело с четырехмерными многообразиями, которые представляют пространство-время.
  • Геодезические: Это пути, по которым следуют частицы в изогнутом пространстве-времени, аналогичные прямым линиям в плоском пространстве. Они определяются метрическим тензором.

Метрика Шварцшильда

Метрика Шварцшильда описывает геометрию пространства-времени вокруг стационарной (невращающейся), сферически симметричной массы. Это самое простое решение уравнений Эйнштейна. Метрика Шварцшильда в сферических координатах (t, r, θ, φ) представлена так:

        ds² = -(1 - 2GM/c²r)c²dt² + (1 - 2GM/c²r) -1 dr² + r²(dθ² + sin²θdφ²)

Здесь G — гравитационная постоянная, M — масса объекта, а c — скорость света.

Рассмотрим два очень ясных примера с использованием этой метрики:

  • Замедление времени: При приближении к массивному объекту время замедляется относительно удаленного наблюдателя. Это называется гравитационным замедлением времени. Если часы находятся на расстоянии r от массы M, то время, измеренное этими часами (собственное время) τ, по сравнению с временем, измеренным удаленным наблюдателем (координатное время) t, дается уравнением: 
     τ = t√(1 - 2GM/c²r)
  • Горизонт событий: При r = 2GM/c² возникает координатная сингулярность в метрике. Это называется горизонтом событий черной дыры. Это точка невозврата, за которой ничто не может покинуть гравитационное притяжение черной дыры.

Метрика Керра

Метрика Керра описывает геометрию пространства-времени вокруг вращающейся (осесимметричной) массы. Она обобщает решение Шварцшильда, включая угловой момент. Метрика Керра в координатах Бойера–Линдквиста представлена как:

        ds² = -(c²dτ²) + (ρ²/Δ)dr² + ρ²dθ² + (r² + a²sin²θdφ² – 2GMr/c²ρ² (cdτ – a sin²θdφ)²

Где:

  • ρ² = r² + a²cos²θ
  • Δ = r² - 2GMr/c² + a²
  • a = J/Mc (угловой момент на единицу массы)

Из метрики Керра вытекают два важных результата:

  • Волочение системы отсчета: Вращение массивного тела увлекает пространство-время вместе с ним. Этот эффект, известный как эффект Ленса-Тирринга, означает, что объекты вокруг вращающегося тела увлекаются его вращением.
  • Эргосфера: Область за пределами горизонта событий, где объекты не могут оставаться на месте без вращения. Это предоставляет способ извлечения вращательной энергии из черной дыры — процесс, известный как процесс Пенроуза.

Визуализация искривления пространства-времени

Чтобы визуализировать искривление пространства-времени из-за массы, рассмотрим пример резинового листа. Если положить на лист тяжелый объект, он создаст вмятину. Эта вмятина имитирует поведение массы с пространством-временем — она изгибает его, и это искривление мы наблюдаем как гравитацию.

путь света

На этой иллюстрации круг представляет массивный объект, такой как звезда или планета. Красная линия представляет путь света, который изгибается из-за искривления пространства-времени вокруг массы.

Применения в космологии

Понимание метрик Шварцшильда и Керра важно для прогнозирования поведения небесных объектов и гравитационных волн. Некоторые основные космологические применения включают:

  • Черные дыры: Обе метрики предоставляют фундаментальные модели для изучения природы черных дыр. Метрика Шварцшильда описывает невращающиеся черные дыры, в то время как метрика Керра применяется к вращающимся черным дырам.
  • Гравитационные волны: Обнаружение гравитационных волн зависит от предсказаний, полученных из этих метрик. Они помогают в понимании динамики сливающихся черных дыр.

Заключение

Метрики Шварцшильда и Керра являются важными решениями в общей теории относительности, предоставляя информацию о природе пространства-времени в присутствии массивных объектов. Они выявляют захватывающее поведение черных дыр и имеют глубокие последствия в космологии. С появлением современных технологий наблюдения и эксперименты продолжают подтверждать предсказания этих метрик, предоставляя более глубокое понимание нашей Вселенной.


Магистрант → 5.1.2


U
username
0%
завершено в Магистрант

← Предыдущий (5.1.1)
Уравнения Эйнштейна
Следующий (5.1.3) →
Геодезия и символы Христоффеля

Комментарии 



Метрики Шварцшильда и Керра

https://www.physicsflow.com/g/5.1.2?pfal=ru