Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Geodésicas y símbolos de Christoffel


Introducción

En los campos de la relatividad general y la cosmología, los conceptos de geodésicas y símbolos de Christoffel juegan un papel clave en la determinación de la dinámica del espacio-tiempo. Estas herramientas son cruciales para comprender las trayectorias de las partículas y la luz a través del espacio-tiempo curvado descrito por las ecuaciones de campo de Einstein. En esta lección, exploraremos estos conceptos de manera intuitiva y con ejemplos detallados, construyendo gradualmente desde los conceptos básicos hasta aplicaciones más complejas.

Naturaleza de las geodésicas

Las geodésicas se pueden entender como una generalización de las líneas rectas a los espacios curvados. Representan el camino más corto entre dos puntos, o el camino que sigue un objeto cuando no hay fuerza sobre él, bajo la influencia de la gravedad, que se representa como espacio curvado en la relatividad general.

Formulación matemática de la geodesia

En geometría diferencial, una geodésica se define mediante la ecuación geodésica:

[frac{d^2x^mu}{dtau^2} + Gamma^mu_{nusigma}frac{dx^nu}{dtau}frac{dx^sigma}{dtau} = 0]

Aquí, x^mu representa las coordenadas de un punto a lo largo de la geodésica, tau es el parámetro afín (como el tiempo propio para caminos tipo tiempo), y Gamma^mu_{nusigma} es el símbolo de Christoffel de la segunda especie.

Visualización de geodésicas

Imaginemos un camino geodésico simple en la superficie de una esfera:

Camino geodésico

En esta vista, la línea roja curva representa la línea geodésica en la esfera. Este es el camino más corto entre dos puntos en la superficie, similar a una ruta de círculo máximo en la Tierra.

Papel de los símbolos de Christoffel

Los símbolos de Christoffel sirven como conexiones que definen cómo cambian los vectores cuando se mueven paralelos a una superficie. Estos símbolos se derivan del tensor métrico, que codifica la estructura geométrica y causal del espacio-tiempo. Aunque no son tensores en sí mismos, son necesarios para calcular la derivada covariante y, por lo tanto, desempeñan un papel fundamental en la formulación de las ecuaciones de campo de Einstein.

Cálculo de los símbolos de Christoffel

Los símbolos de Christoffel están dados por la fórmula:

[Gamma^mu_{nusigma} = frac{1}{2}g^{mulambda} left( frac{partial g_{lambdanu}}{partial x^sigma} + frac{partial g_{lambdasigma}}{partial x^nu} - frac{partial g_{nusigma}}{partial x^lambda} right)]

donde g_{munu} es el tensor métrico y g^{mulambda} es su inverso.

Ejemplo en coordenadas esféricas

Como ejemplo, considere una superficie bidimensional parametrizada con una métrica en coordenadas esféricas (theta, phi):

[ds^2 = dtheta^2 + sin^2(theta) , dphi^2]

Los símbolos de Christoffel para esta métrica son:

[Gamma^theta_{phiphi} = -sin(theta)cos(theta)] [Gamma^phi_{thetaphi} = cot(theta)]

Estos símbolos ayudan a determinar cómo cambia el vector a medida que se mueve a través de la superficie.

Visualización de los símbolos de Christoffel

Para una mejor comprensión, aquí hay una representación conceptual de cómo los vectores son afectados por estos símbolos en una superficie curvada:

Transporte paralelo de vectores

Esta imagen muestra cómo un vector es rotado o "desplazado paralelo" a lo largo de una geodésica en la esfera, de acuerdo con el efecto de los símbolos de Christoffel.

Resolviendo la ecuación geodésica

Resolver la ecuación geodésica nos ayuda a encontrar el camino que toma una partícula en un espacio curvado. Para un espacio simple como el euclidiano bidimensional, la geodésica sigue siendo una línea recta, pero en la relatividad general, se calcula usando los símbolos de Christoffel derivados del tensor métrico del espacio.

Ejemplo en la métrica de Schwarzschild

Por ejemplo, considere la métrica de Schwarzschild, que describe el espacio-tiempo alrededor de un cuerpo esférico no rotante como un agujero negro o un planeta:

[ds^2 = -left(1-frac{2GM}{c^2r}right)c^2dt^2 + left(1-frac{2GM}{c^2r}right)^{-1} dr^2 + r^2dtheta^2 + r^2 sin^2(theta) , dphi^2]

En este escenario, las ecuaciones geodésicas derivadas pueden describir las órbitas de los planetas o el camino de la luz cerca de objetos masivos.

Ejemplo: Desviación de la luz cerca del sol

La predicción de que la luz se desviaría alrededor de cuerpos masivos como el Sol fue una de las primeras pruebas de la teoría de Einstein. La luz que viaja desde una estrella distante hacia la Tierra es desviada por el campo gravitacional del Sol:

[Gamma^theta_{tt} = -frac{2GM}{c^2r^3}theta] [Gamma^theta_{rphi} = -frac{1}{r}] [Gamma^phi_{rtheta} = frac{1}{r}] [Gamma^phi_{thetatheta} = frac{cos(theta)}{sin(theta)}]

Estos cálculos proporcionan información detallada sobre los efectos de curvatura conocidos como "lente gravitacional".

Conclusión

Tanto las geodésicas como los símbolos de Christoffel son los pilares que sostienen el marco matemático de la relatividad general, proporcionando profundas soluciones en la naturaleza de la gravedad y la geometría del espacio-tiempo. Al entender sus significados, derivaciones y aplicaciones, los científicos están facultados para explorar fenómenos cosmológicos complejos, como agujeros negros, ondas gravitacionales y la estructura a gran escala del universo.


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