Pós-graduação
  1. Mecânica clássica  1.1. Cinemática Avançada  1.1.1. Generalized coordinate systems  1.1.2. Equações paramétricas de movimento  1.1.3. Referenciais não inerciais e forças fictícias  1.1.4. Formulação covariante do momento  1.1.5. Variável ação-ângulo  1.2. Mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana  1.2.1. Princípio da ação mínima  1.2.2. Equações de Euler-Lagrange  1.2.3. Teorema de Noether e leis de conservação  1.2.4. Velocidade Normalizada  1.2.5. Conversão canônica  1.2.6. Bracket de Poisson e teoria de Hamilton-Jacobi  1.2.7. Caos Hamiltoniano e Integrabilidade  1.3. Mobilidade de corpo rígido  1.3.1. Euler's equations of motion  1.3.2. Momentos principais de inércia  1.3.3. Movimento giroscópico e precessão  1.3.4. Tensor de inércia  1.3.5. Estabilidade da velocidade rotacional  1.4. Dinâmica não linear e caos  1.4.1. Análise de espaço de fase e estabilidade  1.4.2. Seções de Poincaré e teoria de bifurcação  1.4.3. Atractores Estranhos e Fractais  1.4.4. Expoente de Lyapunov  1.4.5. KAM theorem and quasi-periodic motion
  2. Eletromagnetismo  2.1. Eletrodinâmica Avançada  2.1.1. Função de Green e teoria do potencial  2.1.2. Expansão multipolar  2.1.3. Método de carga de imagem  2.1.4. Condições de contorno e teorema de unicidade  2.2. Propagação de ondas eletromagnéticas  2.2.1. Ondas planas em dielétricos e condutores  2.2.2. Waveguides and cavity resonators  2.2.3. Radiation pressure and optical tweezers  2.2.4. Polarização e cálculo de Jones  2.3. Eletrodinâmica relativística  2.3.1. Formulação covariante da eletrodinâmica  2.3.2. Potenciais de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiação de síncrotron e bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo eletromagnético e transformações de Lorentz  2.4. Física de plasma  2.4.1. Magnetohidrodinâmica  2.4.2. Blindagem de Debye e oscilações do plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén e confinamento em tokamak  2.4.4. Instabilidades de plasma e turbulência
  3. Mecânica estatística e termodinâmica  3.1. Termodinâmica Avançada  3.1.1. Transformadas de Legendre e potenciais termodinâmicos  3.1.2. Teorema da Flutuação–Dissipação  3.1.3. Relações interpessoais de Onsager  3.1.4. Critical events and phase transitions  3.2. Mecânica estatística quântica  3.2.1. Teoria de Matriz Densidade e Conjuntos  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transição de fase quântica  3.2.4. Estatísticas de Fermi–Dirac e Bose–Einstein  3.2.5. Funções de partição e ensembles grand canônicos
  4. Mecânica quântica  4.1. Mecânica de ondas avançada  4.1.1. Aproximação WKB  4.1.2. Formulação de integrais de caminho  4.1.3. Oscilador harmônico quântico e estados coerentes  4.2. Momento angular e spin  4.2.1. Spherical Harmonics  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamento spin-órbita  4.3. Teoria do espalhamento quântico  4.3.1. Born approximation  4.3.2. Análise de onda parcial  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. S-matrix theory  4.4. Quantum field theory  4.4.1. Segunda Quantização  4.4.2. Diagramas de Feynman e propagadores  4.4.3. Teoria da Renormalização  4.4.4. Gauge theory and Yang–Mills fields  4.4.5. Quebra espontânea de simetria e o mecanismo de Higgs
  5. Relatividade geral e cosmologia  5.1. Cálculo tensorial e geometria diferencial  5.1.1. Equações de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild e Kerr  5.1.3. Geodésicas e símbolos de Christoffel  5.2. Cosmologia e o Universo  5.2.1. A métrica FLRW e a inflação cósmica  5.2.2. Energia escura e formação de estruturas  5.2.3. Radiação cósmica de fundo em micro-ondas
  6. Física da matéria condensada  6.1. Estrutura de bandas e teoria do transporte  6.1.1. Teorema de Bloch e o modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topologia da superfície de Fermi  6.1.3. Efeito Hall Quântico  6.2. Supercondutividade  6.2.1. Teoria BCS e pares de Cooper  6.2.2. Efeito Meissner e quantização de fluxo  6.2.3. The Josephson Effect and SQUIDs  6.3. Fases topológicas da matéria  6.3.1. Isolantes Topológicos  6.3.2. Fermions de Majorana em fases topológicas da matéria
  7. Física Nuclear e de Partículas  7.1. Cromodinâmica Quântica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks e glúons  7.1.2. Liberdade Assintótica  7.1.3. Confinamento e hadronização  7.2. Além do Modelo Padrão  7.2.1. Teorias de Grande Unificação  7.2.2. Supersimetria e dimensões extras  7.2.3. Oscilações de neutrinos

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Geodésicas e símbolos de Christoffel


Introdução

No campo da relatividade geral e cosmologia, os conceitos de geodésicas e símbolos de Christoffel desempenham um papel fundamental na determinação da dinâmica do espaço-tempo. Essas ferramentas são cruciais para entender os caminhos de partículas e luz através do espaço-tempo curvo descrito pelas equações de campo de Einstein. Nesta aula, exploraremos esses conceitos de forma intuitiva e com exemplos detalhados, construindo gradualmente desde os fundamentos até aplicações mais complexas.

Natureza das geodésicas

Geodésicas podem ser entendidas como uma generalização de linhas retas para espaços curvos. Elas representam o caminho mais curto entre dois pontos, ou o caminho que um objeto segue quando não há força sobre ele, sob a influência da gravidade, que é representada como espaço curvo na relatividade geral.

Formulação matemática da geodesia

Na geometria diferencial, uma geodésica é definida pela equação geodésica:

[frac{d^2x^mu}{dtau^2} + Gamma^mu_{nusigma}frac{dx^nu}{dtau}frac{dx^sigma}{dtau} = 0]

Aqui, x^mu representa as coordenadas de um ponto ao longo da geodésica, tau é o parâmetro afim (como o tempo próprio para caminhos tipo tempo), e Gamma^mu_{nusigma} é o símbolo de Christoffel da segunda espécie.

Visualização de geodésicas

Vamos imaginar um caminho geodésico simples na superfície de uma esfera:

Caminho geodésico

Nesta visão, a linha curva vermelha representa a linha geodésica na esfera. Este é o caminho mais curto entre dois pontos na superfície, similar a uma rota de círculo máximo na Terra.

Papel dos símbolos de Christoffel

Os símbolos de Christoffel servem como conexões que definem como vetores mudam quando movidos paralelamente a uma superfície. Esses símbolos são derivados do tensor métrico, que codifica a estrutura geométrica e causal do espaço-tempo. Embora não sejam tensores, eles são necessários para calcular a derivada covariante e assim desempenham um papel fundamental na formulação das equações de campo de Einstein.

Cálculo dos símbolos de Christoffel

Os símbolos de Christoffel são dados pela fórmula:

[Gamma^mu_{nusigma} = frac{1}{2}g^{mulambda} left( frac{partial g_{lambdanu}}{partial x^sigma} + frac{partial g_{lambdasigma}}{partial x^nu} - frac{partial g_{nusigma}}{partial x^lambda} right)]

onde g_{munu} é o tensor métrico e g^{mulambda} é o seu inverso.

Exemplo em coordenadas esféricas

Como exemplo, considere uma superfície bidimensional parametrizada com uma métrica em coordenadas esféricas (theta, phi):

[ds^2 = dtheta^2 + sin^2(theta) , dphi^2]

Os símbolos de Christoffel para esta métrica são:

[Gamma^theta_{phiphi} = -sin(theta)cos(theta)] [Gamma^phi_{thetaphi} = cot(theta)]

Esses símbolos ajudam a determinar como o vetor muda à medida que se move pela superfície.

Visualizando símbolos de Christoffel

Para um melhor entendimento, aqui está uma representação conceitual de como os vetores são afetados por esses símbolos em uma superfície curva:

Transporte paralelo de vetor

Esta imagem mostra como um vetor é rotacionado ou "deslocado paralelamente" ao longo de uma geodésica na esfera, de acordo com o efeito dos símbolos de Christoffel.

Solucionando a equação geodésica

Solucionar a equação geodésica nos ajuda a encontrar o caminho que uma partícula toma em um espaço curvo. Para um espaço simples como o euclidiano bidimensional, a geodésica permanece uma linha reta, mas na relatividade geral, a geodésica é calculada usando símbolos de Christoffel derivados do tensor métrico do espaço.

Exemplo na métrica de Schwarzschild

Por exemplo, considere a métrica de Schwarzschild, que descreve o espaço-tempo ao redor de um corpo esférico não rotativo, como um buraco negro ou planeta:

[ds^2 = -left(1-frac{2GM}{c^2r}right)c^2dt^2 + left(1-frac{2GM}{c^2r}right)^{-1} dr^2 + r^2dtheta^2 + r^2 sin^2(theta) , dphi^2]

Neste cenário, as equações geodésicas derivadas podem descrever as órbitas de planetas ou o caminho da luz perto de objetos massivos.

Exemplo: Desvio da luz perto do sol

A previsão de que a luz se curvaria ao redor de corpos massivos como o Sol foi um dos primeiros testes da teoria de Einstein. A luz viajando de uma estrela distante em direção à Terra é desviada pelo campo gravitacional do Sol:

[Gamma^theta_{tt} = -frac{2GM}{c^2r^3}theta] [Gamma^theta_{rphi} = -frac{1}{r}] [Gamma^phi_{rtheta} = frac{1}{r}] [Gamma^phi_{thetatheta} = frac{cos(theta)}{sin(theta)}]

Esses cálculos fornecem informações detalhadas sobre os efeitos da curvatura conhecidos como "lente gravitacional".

Conclusão

Tanto as geodésicas quanto os símbolos de Christoffel são os pilares que sustentam a estrutura matemática da relatividade geral, fornecendo insights profundos sobre a natureza da gravidade e a geometria do espaço-tempo. Ao entender seus significados, derivações e aplicações, os cientistas são capacitados a explorar fenômenos cosmológicos complexos, como buracos negros, ondas gravitacionais e a estrutura em larga escala do universo.


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