Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Topología de la superficie de Fermi


En el campo de la física de la materia condensada, comprender las propiedades de los materiales implica examinar su estructura electrónica. Uno de los conceptos poderosos que ha surgido en este campo es la idea de la superficie de Fermi. La superficie de Fermi es una estructura que representa la colección de estados de energía ocupados por electrones a temperatura cero. Es importante para describir las propiedades electrónicas de metales y semiconductores.

¿Qué es la superficie de Fermi?

La superficie de Fermi surge del estudio de la teoría de bandas, donde los electrones solo pueden ocupar ciertas bandas de energía. El nivel de energía en el que la banda de conducción está medio llena a temperatura absoluta cero se conoce como energía de Fermi. El conjunto de puntos en el espacio recíproco correspondientes a esta energía define la superficie de Fermi.

Formalmente, si E(k) es la energía del estado electrónico asociado con el vector de onda k, entonces la superficie de Fermi se define por la ecuación:

E(k) = E_F

donde E_F es la energía de Fermi.

Visualización de la superficie de Fermi

Para ver esto, considere un simple modelo de metal de electrones libres en tres dimensiones. En este caso simple, la superficie de Fermi es una esfera en el espacio recíproco, porque las energías de los electrones libres son isotrópicas: dependen solo de la magnitud del vector de onda.

E F

En esta ilustración, el círculo representa la sección transversal de una superficie de Fermi esférica en el espacio recíproco 3D. El radio de esta esfera depende de la densidad de electrones y es proporcional a la raíz cuadrada de la energía de Fermi.

Complejidad en sustancias reales

Los materiales reales exhiben superficies de Fermi mucho más complejas, que a menudo se desvían de formas geométricas simples debido a las interacciones dentro de la red cristalina y a la presencia de múltiples bandas de electrones. En tales materiales, las superficies de Fermi pueden adoptar formas complejas como elipsoides, toroides e incluso estructuras más complejas. Estas formas se determinan mediante técnicas experimentales como la espectroscopía de fotoemisión angularmente resuelta (ARPES) o calculadas teóricamente mediante métodos computacionales.

Por ejemplo, la superficie de Fermi del cobre, que cristaliza en una estructura cúbica centrada en las caras (FCC), no es esférica, sino que se abulta hacia afuera en ciertas direcciones dentro de la zona de Brillouin:

Superficie de Fermi del Cu

¿Por qué es importante la superficie de Fermi?

La topología de la superficie de Fermi está profundamente conectada con las propiedades electrónicas de metales y semiconductores. Gobierna fenómenos como la conductividad eléctrica, la capacidad calorífica y la respuesta electromagnética de los materiales. La geometría de la superficie de Fermi a menudo dicta cómo se dispersarán los electrones, lo que a su vez afecta las propiedades de resistencia y superconductividad del material.

Teoría del transporte y la superficie de Fermi

Las propiedades de transporte de los materiales, como la conductividad eléctrica y térmica, se pueden entender mejor a través del concepto de superficie de Fermi. Los electrones cercanos a la superficie de Fermi son responsables de conducir la electricidad porque tienen los estados de energía más altos y el momento más bajo, lo que les permite ser fácilmente excitados o perturbados por campos externos.

Ecuación de transporte de Boltzmann

En campos eléctricos débiles, el comportamiento de los electrones se puede analizar usando la ecuación de transporte de Boltzmann, que describe el comportamiento estadístico de un sistema termodinámico fuera del equilibrio:

df/dt = (∂f/∂t)_coll + (∂f/∂t)_external

donde f es la función de distribución, (∂f/∂t)_coll es el cambio causado por colisiones, y (∂f/∂t)_external es el cambio causado por fuerzas externas como campos eléctricos. La solución de esta ecuación proporciona información sobre la conductividad, el efecto Seebeck y otros fenómenos de transporte.

Camino libre medio y dispersión

Los electrones que se mueven a través del sólido se dispersan debido a imperfecciones como vibraciones de la red (fonones), impurezas e interacciones electrón-electrón. El camino libre medio, que es la distancia promedio que un electrón viaja entre colisiones, se ve afectado por la topología de la superficie de Fermi. Una superficie de Fermi altamente anisotrópica significa que el camino libre medio variará considerablemente en diferentes direcciones del cristal, lo que afecta las propiedades de transporte.

Oscilación cuántica

El efecto De Haas–Van Alphen y el efecto Shubnikov–De Haas son fenómenos oscilatorios cuánticos observados en la magnetización y la resistencia eléctrica de los metales, respectivamente. Estos efectos proporcionan mediciones directas de la superficie de Fermi. Surgen debido a la cuantización del nivel de Landau de las órbitas electrónicas en un campo magnético, lo que lleva a oscilaciones que dependen del área de sección transversal de la superficie de Fermi perpendicular al campo.

La frecuencia de estas oscilaciones está relacionada con las áreas de sección transversal pico de la superficie de Fermi, lo que permite a los científicos realizar un mapeo detallado de la superficie.

Topología y reconstrucción de la superficie de Fermi

Los aspectos topológicos de las superficies de Fermi son un tema de gran interés. Los materiales con topología de superficie de Fermi no trivial, como los aislantes topológicos y los semimetales de Weyl, albergan estados electrónicos exóticos en sus superficies mientras retienen el comportamiento aislante en su volumen.

Estos materiales tienen superficies de Fermi que se reconstruyen debido a transiciones de fase o cambios en temperatura y presión. El descubrimiento de estas reconstrucciones ha llevado a nuevos conocimientos físicos y aplicaciones tecnológicas potenciales en la computación cuántica y la nano-electrónica.

Conclusión

La topología de las superficies de Fermi proporciona una ventana importante a las propiedades electrónicas de los materiales. Al investigar el tamaño, la forma y la topología de la superficie de Fermi, los científicos no solo obtienen una comprensión más profunda de las propiedades fundamentales de los materiales, sino que también avanzan en el descubrimiento de nuevos materiales con propiedades electrónicas y de transporte personalizadas.

El estudio de las topologías de las superficies de Fermi es un área vibrante de investigación, con implicaciones significativas para comprender los principios subyacentes de la tecnología y la ciencia de materiales.


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