Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Efecto Hall Cuántico


El efecto Hall cuántico (QHE) es un fenómeno de mecánica cuántica observado en sistemas de electrones bidimensionales sometidos a bajas temperaturas y fuertes campos magnéticos. Es uno de los descubrimientos más notables en física de la materia condensada, que no solo ha expandido nuestra comprensión de las interacciones electrónicas en sistemas de baja dimensión, sino que también ha sentado las bases para desarrollos tecnológicos emocionantes, incluyendo aislantes topológicos y computación cuántica.

Entendiendo la estructura de bandas

En la física del estado sólido, el concepto de estructura de bandas es bastante fundamental. Describe el rango de niveles de energía que los electrones dentro de un sólido pueden tener y el rango de niveles de energía que se les prohíbe tener. La estructura de bandas surge del potencial periódico experimentado por los electrones en la red cristalina.

Bandas de energía

Cuando los átomos se juntan para formar un sólido, sus orbitales atómicos se superponen entre sí para formar orbitales moleculares, que se extienden por todo el sólido como bandas de electrones. Las bandas más importantes para entender el QHE son la banda de conducción y la banda de valencia. La diferencia de energía entre estas, conocida como la brecha de banda, determina si el material es un conductor, aislante o semiconductor.

    e(k) = ħ²k² / 2m

Esta fórmula describe la energía E del vector de onda del electrón k en el modelo de electrón libre, donde ħ es la constante de Planck reducida y m es la masa del electrón. En un sólido, el potencial periódico modifica esta relación, conduciendo a una estructura de bandas.

Superficie de Fermi

En los metales, la superficie de Fermi es importante para entender las propiedades eléctricas; es una superficie de energía constante en el espacio de momento que separa estados llenos de estados vacíos a temperatura cero absoluto.

Efecto Hall y el salto cuántico

Efecto Hall clásico

Descubierto por Edwin Hall en 1879, el efecto Hall clásico ocurre cuando se aplica un campo magnético perpendicular a la corriente que fluye a través de un conductor. Este campo magnético induce una fuerza de Lorentz, que desvía los portadores de carga hacia un lado del conductor, creando una diferencia de voltaje en la dirección transversal.

    V_H = (IB)/(NQ)

Dónde V_H es el voltaje Hall, I es la corriente, B es el campo magnético, n es la densidad de portadores de carga, y q es la carga de los portadores.

Efecto Hall cuántico

A diferencia del efecto Hall clásico, el efecto Hall cuántico ocurre bajo condiciones extremas: bajas temperaturas y fuertes campos magnéticos. Bajo estas condiciones, la conductividad Hall toma valores cuantizados, de ahí el término "cuántico".

    (sigma_{xy} = frac{e^2}{h} cdot nu)

Aquí, ( nu ) es un número entero o racional conocido como el factor de llenado, e es la carga de un electrón, y h es la constante de Planck. Esta cuantización es extremadamente precisa, lo que lo hace útil para definir estándares de resistencia eléctrica.

Niveles de Landau

Para entender el efecto Hall cuántico, uno debe profundizar en el concepto de niveles de Landau. Cuando un gas de electrones bidimensional se somete a un campo magnético perpendicular, los electrones giran en órbitas circulares de ciclotrón. Los niveles de energía permitidos de estas órbitas son los niveles de Landau, que se describen como:

    E_n = hbar omega_c (n + frac{1}{2})

donde n es un número entero que representa el índice del nivel de Landau, y (omega_c = frac{eB}{m^*}) es la frecuencia de ciclotrón, con m^* siendo la masa efectiva del electrón.

Ejemplo visual de niveles de Landau

energía índice n

En este ejemplo visual, el eje vertical muestra la energía de los niveles de Landau y el eje horizontal muestra el índice n. Cada círculo verde corresponde a un estado de energía disponible en un nivel de Landau particular.

Factores de llenado

El factor de llenado ( nu ) indica cuántos niveles de Landau están llenos y juega un papel importante en la determinación de la conductividad Hall cuántica.

    (nu = frac{n}{B/phi_0})

donde ( n ) es la densidad de electrones, ( B ) es el campo magnético, y (phi_0 = frac{h}{e}) es el cuanto de flujo magnético.

Efecto Hall cuántico entero (IQHE)

En el efecto Hall cuántico entero, el factor de llenado es un número entero. La cuantización de la conductividad en tales casos es una consecuencia de la topología de la estructura de bandas electrónicas, proporcionando profundos conocimientos sobre la naturaleza del flujo de electrones en sistemas de baja dimensión.

Efecto Hall cuántico fraccionario (FQHE)

En el efecto Hall cuántico fraccionario, el factor de llenado toma valores fraccionales. Este fenómeno es particularmente fascinante porque surge de interacciones electrón-electrón que resultan en la formación de partículas compuestas llamadas "fermiones compuestos".

Teoría del transporte

La teoría del transporte describe cómo se comporta la conductividad eléctrica en sistemas de electrones bidimensionales sometidos a un campo magnético. En el contexto del QHE, las propiedades de transporte proporcionan importantes conocimientos sobre los estados cuánticos de la materia.

La resistencia Hall se cuantifica con una precisión extraordinaria y, por lo tanto, se utiliza en estándares de resistencia en todo el mundo. Las mediciones de esta resistencia permiten caracterizar los invariantes topológicos de los estados electrónicos.

Estados límite y topología

El efecto Hall cuántico está estrechamente vinculado a las propiedades topológicas de los materiales. En particular, se ha encontrado que la presencia de fuertes estados límite es necesaria para la cuantización de la conductividad Hall. Estos estados límite se explican a través de invariantes topológicos, conocidos como números de Chern, que son centrales en el campo de los aislantes topológicos.

Aplicaciones e impacto en el mundo real

Más allá de sus implicaciones teóricas, el efecto Hall cuántico también ha tenido consecuencias prácticas. Ha contribuido al desarrollo de nuevas herramientas en la computación cuántica y la metrología. La cuantización proporciona definiciones prácticas y precisas de unidades eléctricas, como la resistencia, basadas en constantes fundamentales.

Desafíos y direcciones futuras

Aunque se ha realizado mucho trabajo para entender el QHE, persisten desafíos, particularmente en la comprensión completa del efecto Hall cuántico fraccionario. Nuevos materiales que puedan exhibir estos efectos más fácilmente y a temperaturas más altas son de particular interés, proporcionando rutas potenciales para revolucionar dispositivos electrónicos.

Así, la continua exploración del efecto Hall cuántico es un testimonio de las fascinantes complejidades y la belleza elegante inherente en la mecánica cuántica y la física de la materia condensada.


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