Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Estructura de bandas y teoría de transporte


En la física de la materia condensada, entender las propiedades electrónicas de los materiales es fundamental. Los conceptos de estructura de bandas y teoría de transporte desempeñan un papel vital en explicar cómo se comportan los electrones en los sólidos. Esta discusión tiene como objetivo proporcionar una comprensión amplia de estos conceptos de una manera accesible sin comprometer la profundidad.

Estructura de bandas

La estructura de bandas se refiere al rango de energías que un electrón dentro de un sólido puede tener, y también al rango de energías que no puede tener. Es el resultado de la naturaleza ondulatoria de los electrones y su interacción con los potenciales periódicos de la red cristalina.

Bandas de energía y brecha de banda

Para entender la estructura de bandas, es importante notar que en un átomo, los electrones ocupan niveles de energía discretos. Sin embargo, cuando muchos átomos se combinan para formar un sólido, estos niveles discretos se expanden en bandas debido a las interacciones entre electrones. En estas bandas, los electrones pueden moverse libremente. Sin embargo, también existen rangos de energía llamados brechas de banda donde no existen estados electrónicos. Estas brechas de banda son importantes para determinar las características eléctricas de un material.

Ejemplo visual: Estructura de bandas

banda de conducción brecha de banda banda de valencia

La ilustración visual anterior muestra una vista simplificada de la estructura de bandas, con las bandas de conducción y valencia separadas por una brecha de banda.

Semiconductores, aislantes y conductores

La estructura de bandas determina directamente si un material sólido es un conductor, aislante o semiconductor. Los conductores tienen bandas de conducción y valencia superpuestas, lo que significa que los electrones pueden moverse libremente. Los aislantes tienen amplias brechas de banda, que impiden el movimiento de electrones en condiciones normales. Los semiconductores tienen pequeñas brechas de banda, lo que permite el flujo controlado de electrones cuando se suministra energía.

Representación matemática

Matemáticamente, el comportamiento de los electrones en la estructura de bandas puede describirse mediante soluciones de la ecuación de Schrödinger:

        HΨ = EΨ

Aquí, H denota el operador Hamiltoniano, Ψ es la función de onda y E es el valor propio de energía. En sólidos periódicos, las soluciones de esta ecuación llevan a la formación de bandas de energía.

Teoría del transporte

La teoría del transporte en la física de la materia condensada se trata de entender cómo se mueven los electrones y otras partículas cuánticas dentro de un sólido. Este movimiento es importante para las propiedades de conducción eléctrica y térmica de los materiales.

Transporte clásico versus cuántico

En términos clásicos, el transporte puede explicarse simplemente por la ley de Ohm, donde la densidad de corriente J es proporcional al campo eléctrico E a través de la conductividad σ.

        J = σE

Sin embargo, en mecánica cuántica, las propiedades de transporte dependen de la dispersión de electrones dentro del material y de la naturaleza cuantizada de los portadores de carga. La ecuación de transporte de Boltzmann se usa a menudo:

        df/dt + v * df/dx + F * df/dp = (df/dt)_colisión

donde f es la función de distribución, v es la velocidad de la partícula, F es la fuerza externa, y el lado derecho tiene en cuenta las colisiones y otras interacciones.

Modelo de Drude

El modelo de Drude proporciona una aproximación clásica simple de los fenómenos de transporte en metales. Trata al electrón como una partícula clásica, proporcionando información sobre la conductividad eléctrica y térmica. El modelo de Drude se da como:

        σ = ne²τ/m

Aquí, n es la densidad de portadores de carga, e es la carga del electrón, τ es el tiempo libre medio entre colisiones, y m es la masa del electrón.

Transporte cuántico

La perspectiva cuántica considera la naturaleza ondulatoria y la mecánica estadística. Tiene en cuenta factores como las interacciones electrón-electrón y las dislocaciones. Esto es importante para entender el comportamiento en nanoestructuras y películas delgadas.

Conductividad cuántica

A nivel cuántico, la conductividad está cuantizada y ocurre en pasos discretos. La conductividad G puede expresarse como:

        G = (2e²/h)T

donde e es la carga del electrón, h es la constante de Planck y T es la probabilidad de transmisión del electrón a través del conductor.

Ejemplo visual: Túnel cuántico

barrera Tunelación

Esta ilustración simplificada muestra un fenómeno de túnel cuántico en el cual un electrón pasa a través de una barrera y destaca su diferencia con las predicciones clásicas, donde tal paso está prohibido si el electrón no tiene suficiente energía.

Interacción electrón-fonón

Los fonones, o vibraciones de red cuantizadas, juegan un papel importante en la determinación de las propiedades de transporte de los materiales. La interacción entre electrones y fonones puede llevar a fenómenos como la superconductividad.

En una red ideal, los electrones fluirían sin dispersarse. Sin embargo, las vibraciones de la red (fonones) perturban el potencial periódico, causando la dispersión de electrones y afectando la conductividad.

Descripción matemática

Comprender estas interacciones requiere ecuaciones matemáticas complejas que a menudo van más allá de los niveles básicos. Sin embargo, un enfoque simplificado puede comenzar con la tasa de dispersión de electrones debido a los fonones:

        τ⁻¹ ≈ g²(2π/h)(n_fonón + 1)D(E_F)

Esta fórmula sugiere la interacción entre el electrón y el fonón, donde g es la constante de acoplamiento electrón-fonón, n_fonón es el número de fonones y D(E_F) es la densidad de estados en la energía de Fermi.

Aplicaciones e implicaciones

Comprender la estructura de bandas y la teoría del transporte tiene implicaciones tecnológicas directas. Esto ha influido en gran medida en el desarrollo de semiconductores, llevando al desarrollo de la electrónica moderna, incluidas computadoras y teléfonos inteligentes. El conocimiento avanzado de hoy de grafeno y otros materiales 2D está profundamente arraigado en estos principios fundamentales.

Perspectivas futuras

Las teorías de estructura de bandas y transporte cuántico están en el corazón de la investigación continua sobre computación cuántica, nuevos materiales y nanotecnología. Estas áreas tienen el potencial de avances que podrían redefinir la tecnología y la física.

A medida que la investigación continúa, nuevos modelos teóricos y simulaciones están avanzando la comprensión de las propiedades de los materiales, allanando el camino para innovaciones en áreas como la eficiencia energética, superconductividad y más allá.

Conclusión

Al entender las estructuras de bandas y la teoría del transporte, los físicos pueden predecir cómo los materiales conducirán electricidad y calor, diseñar materiales con propiedades específicas, y en última instancia, aprovechar estas propiedades en aplicaciones prácticas. Este campo sigue siendo un área de investigación vibrante con importantes implicaciones para los futuros avances tecnológicos.


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