Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Aislantes Topológicos


Los aislantes topológicos son un tema fascinante en la física de la materia condensada que ha atraído una atención significativa debido a sus propiedades únicas. Son materiales que, aunque se comportan como aislantes en su interior, tienen estados conductores en sus límites, que pueden ser superficies o bordes. Estos estados de límite son especiales porque están protegidos por la simetría de inversión temporal y otras simetrías, lo que los hace robustos frente a perturbaciones y desórdenes.

Comprensión de la topología

Antes de profundizar en los aislantes topológicos, es necesario comprender el concepto de topología. En matemáticas, la topología es una rama que estudia las propiedades del espacio que se conservan bajo transformaciones continuas. Estas pueden incluir doblar, torcer, estirar y otras deformaciones que no involucran rasgar o pegar.

Un ejemplo clásico de topología es la transformación de una taza de café en una forma de rosquilla. Ambas tienen el mismo agujero y, por lo tanto, se consideran topológicamente idénticas. A pesar de sus diferentes formas, pueden transformarse entre sí mediante deformación continua.

Los aislantes topológicos llevan este concepto a los campos de la mecánica cuántica y la ciencia de materiales. La presencia de estados protegidos de borde o superficie hace que estos materiales sean topológicamente diferentes de los aislantes ordinarios. Estas diferencias no surgen de parámetros físicos locales, como la estructura reticular, sino de propiedades globales de la estructura de bandas electrónicas del material.

Efecto Hall cuántico

Para comprender los estados topológicos, es útil revisar el efecto Hall cuántico. En un fuerte campo magnético, los electrones confinados a dos dimensiones pueden exhibir un comportamiento colectivo que resulta en una conductividad Hall cuantizada. Este fenómeno representa un estado ordenado topológicamente, que se clasifica mediante un número entero llamado número de Chern.

Los sistemas de Hall cuántico tienen estados de borde que son robustos e inmunes a la retrodispersión a pesar de las impurezas o defectos. Estos estados de borde son topológicamente seguros, indicando la identidad de las fases topológicas.

Modelo Kane-Mele

El descubrimiento del efecto Hall de espín cuántico predicho por el modelo Kane-Mele marcó un avance significativo en este campo, llevando a la comprensión de los aislantes topológicos bidimensionales. El modelo Kane-Mele describe una red de panal similar al grafeno, donde el acoplamiento espín-órbita resulta en un nuevo tipo de conductividad: a diferencia del efecto Hall cuántico, no requiere un campo magnético.

El estado de Hall de espín cuántico surge debido al acoplamiento espín-órbita intrínseco y resulta en un par de estados de borde con espines opuestos girando en direcciones opuestas. Estos estados de borde están protegidos topológicamente por la simetría de inversión temporal, asegurando que sean robustos frente al desorden no magnético.

Aislantes topológicos 3D

La extensión de los aislantes topológicos a tres dimensiones abrió el campo para aplicaciones del mundo real e implicaciones teóricas amplias. Los aislantes topológicos tridimensionales tienen un volumen aislante y un estado de superficie conductor caracterizado por el bloqueo de espín-momentum.

Estos estados de superficie permiten a los electrones circular con el espín bloqueado perpendicularmente a su movimiento, una característica que podría ser útil para dispositivos espintrónicos. Materiales como el seleniuro de bismuto (Bi₂Se₃) y el telururo de bismuto (Bi₂Te₃) son ejemplos bien conocidos de aislantes topológicos tridimensionales.

Descripción matemática

La caracterización de los aislantes topológicos implica el análisis de la estructura de bandas, en particular la existencia de brechas de energía en el volumen y estados sin brechas en el límite. Estas propiedades se describen mediante invariantes topológicos.

Un invariante comúnmente usado en sistemas 2D es el invariante Z₂, que se puede calcular examinando la invariancia de la banda de ciertas simetrías en el material. En casos más complejos, como sistemas tridimensionales, la descripción puede implicar herramientas matemáticas más sofisticadas.

H = ψ†(k)[(m - Bk²)τzσ₀ + A(kₓτxσz + kyτyσ₀)]ψ(k)

Aquí, H denota el Hamiltoniano que describe el sistema, donde términos como τ y σ son matrices de Pauli que actúan sobre diferentes grados de libertad, y parámetros como m y A describen estados específicos del material.

Robustez y aplicaciones

Un aspecto importante de los aislantes topológicos es su robustez frente a influencias externas. Esta robustez se debe a la naturaleza topológica del material, lo que significa que mientras se preserve la simetría del sistema, las perturbaciones menores no afectarán el estado topológicamente no trivial.

Esta característica ha abierto la puerta a potenciales aplicaciones en tecnología, particularmente en la creación de dispositivos que aprovechan el espín de los electrones para el procesamiento de información. Además, los aislantes topológicos podrían desempeñar un papel en la computación cuántica a través de la creación de partículas exóticas como los fermiones de Majorana.

Visualización de los aislantes topológicos

Para comprender mejor, considere la siguiente ilustración que muestra el principio básico de los aislantes topológicos.

Aislante Volumétrico Borde Conductivo

En esta ilustración simplificada, el volumen del material (el interior) es aislante, representado por el rectángulo azul claro, mientras que los bordes conducen electricidad, mostrados como líneas naranjas. Esta separación destaca el estado de borde protegido topológicamente.

Desafíos y futuras direcciones

A pesar de los aspectos prometedores de los aislantes topológicos, permanecen desafíos en su plena integración en aplicaciones prácticas. Cuestiones como la síntesis de materiales, la interacción con electrónica convencional y la estabilidad bajo condiciones prácticas son áreas importantes de investigación actual.

Sin embargo, el futuro de los aislantes topológicos es brillante, ya que la investigación en curso explora en profundidad su física subyacente, a menudo llevando al descubrimiento de nuevas fases de la materia. Descubrir aislantes topológicos de orden superior o integrar estos materiales en heteroestructuras y semimetales topológicos representa fronteras emocionantes.

Comentarios finales

Los aislantes topológicos representan una intersección increíble de matemáticas teóricas, física y mecánica cuántica. Sus propiedades únicas los hacen un candidato prometedor para revolucionar varios campos de la ciencia y la tecnología, desde la computación hasta la ingeniería de materiales. A medida que avanza la investigación, comprender y usar estos emocionantes materiales podría llevar a descubrimientos que redefinan nuestro paisaje tecnológico.


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