Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Fases topológicas de la materia


Las fases topológicas de la materia son un tema fascinante y emergente en el campo de la física de la materia condensada. Representan una clase de fases que van más allá de la descripción tradicional de ruptura de simetría de la materia, ofreciendo un nuevo paradigma basado en el orden topológico. Estas fases se caracterizan por propiedades que dependen no de parámetros de orden locales, sino de aspectos topológicos globales de las funciones de onda de la materia.

Antecedentes e introducción

Tradicionalmente, las fases de la materia se clasifican según el principio de ruptura de simetría. Por ejemplo, en la transición de líquido a sólido, la simetría rotacional del líquido se rompe. Estas fases clásicas pueden entenderse dentro del marco de la teoría de las transiciones de fase de Landau, donde las fases se distinguen por parámetros de orden locales.

En la década de 1980, se descubrió un nuevo tipo de fase que no podía describirse únicamente mediante la ruptura de simetría. La primera fase topológica conocida de la materia fue el efecto Hall cuántico, observado en sistemas de electrones bidimensionales sujetos a un fuerte campo magnético.

Conceptos clave de las fases topológicas

Invariantes topológicos

Una de las características definitorias de las fases topológicas es la presencia de invariantes topológicos. Estos son magnitudes que permanecen inalteradas bajo una deformación continua del sistema. Un ejemplo bien conocido de esto es el número de Chern, que es un número entero que indica cuántas veces la función de onda de un sistema se enrolla alrededor de un espacio imaginario.

    Número de Chern, C = (1/2πi) ∫∫ F(kx, ky) d^2k

Aquí, F(kx, ky) es la curvatura de Berry, y la integración es sobre la zona de Brillouin.

Estados de borde

Las fases topológicas a menudo albergan estados de borde protegidos en sus límites. Estos estados de borde son robustos frente a perturbaciones, lo que significa que no pueden ser destruidos fácilmente por impurezas o defectos. Esta propiedad conduce a aplicaciones en la creación de dispositivos que son resistentes al ruido externo.

Ejemplos de fases topológicas

Para entender mejor las fases topológicas, veamos algunos ejemplos.

Efecto Hall cuántico

El efecto Hall cuántico es un ejemplo destacado de una fase topológica. Cuando los electrones en un gas de electrones bidimensional son sometidos a un campo magnético fuerte perpendicular, su movimiento se cuantiza en niveles discretos conocidos como niveles de Landau.

Niveles de Landau Campo magnético B

A medida que aumenta la intensidad del campo magnético, la resistividad Hall del sistema se vuelve constante y la resistividad longitudinal tiende a cero. Estos platós están cuantizados y pueden describirse mediante números de Chern enteros:

    σ_xy = (e^2/h) * c

donde σ_xy es la conductividad Hall, e es la carga del electrón, h es la constante de Planck, y C es el número de Chern.

Aislantes topológicos

Otro ejemplo son los aislantes topológicos. Estos son materiales que se comportan como aislantes en su interior pero conducen electricidad en su superficie. El estado de la superficie conductora está asegurado por las propiedades topológicas del material.

Volumen Aislante Borde Operativo

Marco teórico

Fase de Berry y curvatura de Berry

Un concepto matemático importante para comprender las fases topológicas es la fase de Berry, que es una fase geométrica obtenida durante un ciclo cuando el sistema está sometido a procesos adiabáticos. La curvatura de Berry es la intensidad del campo correspondiente a la conexión de Berry.

Teoría de bandas topológicas

En la teoría de bandas topológicas, las propiedades de los electrones en sólidos se describen mediante bandas de energía. Las estructuras de bandas topológicas se caracterizan por una topología no trivial, que afecta el movimiento y la distribución de electrones dentro de las bandas.

Aplicaciones e implicaciones

El estudio de las fases topológicas de la materia tiene muchas aplicaciones, especialmente en electrónica y computación cuántica. La estabilidad de los estados de borde hace que los materiales topológicos sean ideales para su uso en dispositivos donde el rendimiento es crítico, incluso en medio de perturbaciones ambientales.

Computación cuántica

Las fases topológicas ofrecen vías prometedoras para la computación cuántica, particularmente en el diseño de bits cuánticos que son menos propensos a la decoherencia. Las computadoras cuánticas topológicas aprovechan los anyones, que son partículas que emergen en ciertos sistemas bidimensionales, para crear bits cuánticos inherentemente más fuertes.

Conclusión

Las fases topológicas de la materia representan un cambio de paradigma en la comprensión del comportamiento de los materiales. Con sus propiedades únicas arraigadas en sus características topológicas, estas fases ofrecen posibilidades emocionantes para innovaciones tecnológicas. A medida que la investigación avanza, el potencial de las fases topológicas para revolucionar la tecnología se vuelve más tangible, cerrando la brecha entre la física teórica y las aplicaciones prácticas.


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