運動の方程式
物理学では、運動方程式は動く物体の挙動を記述するために使用されます。これらの方程式は、変位、速度、加速度などの運動の主要な特性を計算する方法を提供します。これらは物体の動き方を理解するのに重要であり、力学を学ぶ上で基本的な概念です。このレッスンでは、これらの方程式、その導出、および動力学の問題を解くためにどのように適用できるかを探ります。
運動学と運動の紹介
ダイナミクスは、運動を引き起こす力を考慮せずに運動を研究することです。それは物の位置、速度、加速度に焦点を合わせています。ダイナミクスでは、以下の点で運動を記述します:
- 変位 - 物体の位置の変化。これはベクトル量であり、大小と方向の両方を持ちます。
- 速度 - 変位の変化率。変位と同様に、速度もベクトルであり、通常はメートル毎秒(m/s)で表されます。
- 加速度 - 速度の変化率。これは物体の速度が時間とともにどのように変化するかを示し、メートル毎秒毎秒(m/s²)で測定されます。
運動は均一か非均一が考えられます。均一運動では、速度は一定であり、加速度はゼロです。非均一運動では、速度が変化し、したがって加速度はゼロではありません。
三つの運動の方程式
三つの運動の方程式は均等に加速された運動の仮定に基づいて導き出されます。これは、ある時間間隔で加速度が一定であることを意味します。この三つの方程式は、運動に関連する多くの物理問題を解決するための基本であり、次のように述べられます:
第一の運動方程式
第一の運動方程式は速度と時間の関係を示します。それは次のように記述されます:
v = u + at
ここで:
v
は物体の最終速度です。u
は物体の初速度です。a
は一定の加速度です。t
は経過時間です。
例1
静止状態から始まる物体を考えます。これは初速度 u
= 0 を意味します。この物体は3秒間にわたって一定の速度で5 m/s²で加速します。第一の運動方程式を使用して:
v = u + at
v = 0 + (5 m/s² * 3 s)
v = 15 m/s
物体の最終速度は15 m/sです。
視覚的説明(方程式1)
第二の運動方程式
第二の運動方程式は、変位と時間、初速度、加速度を関係付けます。それは次のように与えられます:
s = ut + (1/2)at²
ここで:
s
は変位です。u
、a
、t
は以前に定義されたものと同じです。
例2
前の例を使用すると、u
= 0 m/s、a
= 5 m/s²、および t
= 3 s のとき、変位を計算します:
s = ut + (1/2)at²
s = 0*3 + 0.5*(5 * 3²)
s = 0.5 * 5 * 9
s = 22.5 m
変位は22.5メートルです。
視覚的説明(方程式2)
第三の運動方程式
第三の運動方程式は時間に依存しない関係を提供します。最終速度と初速度、加速度、変位を関連付けます:
v² = u² + 2as
ここで:
v
とu
はそれぞれ最終速度と初速度です。a
は一定の加速度です。s
は変位です。
例3
ある物体が休止状態からの加速により15 m/s²の速度に達し、一定の加速度が5 m/s²であるとすると、変位を求めます。
v² = u² + 2as
15² = 0² + 2*5*s
225 = 10s
s = 225 / 10
s = 22.5 m
計算された変位は再び22.5 mであり、前の計算と一致します。
視覚的説明(方程式3)
応用と理解
これらの方程式は、初期条件や時間や加速度などの既知の量に基づいて運動を予測するのに役立ちます。それらは、工学、空気力学、自動車産業、スポーツ科学など、物体の運動を理解することが不可欠な分野で基礎的です。
これらの方程式を適用するためのさまざまなシナリオをカバーするいくつかの追加の例を考えてみましょう。
例4:自由落下
重力のみの影響下で落下する物体は、重力による一定の加速度を経験します。これはおおよそ g = 9.8 m/s²
です。3秒後に45 mの高さから落とされたボールの速度と変位を計算します。
第一の運動方程式を使用して:
v = u + at
u = 0, a = 9.8 m/s², t = 3 s
v = 0 + (9.8 * 3)
v = 29.4 m/s
3秒後の速度は29.4 m/sです。
変位のために第二の運動方程式を使って:
s = ut + (1/2)at²
s = 0*3 + 0.5*(9.8 * 3²)
s = 0.5 * 9.8 * 9
s = 44.1 m
ボールは3秒間で44.1 m落下します。
例5:投射運動
ある投射物が水平方向に角度 θ
で速度 u
で打ち上げられるとします。水平方向には加速度がありませんが、垂直方向には加速度 g
があります。この運動を水平成分と垂直成分に分けて考えることができます。
水平方向は加速度がないため速度が一定です:
x = u*cos(θ)*t
垂直方向の運動は重力の影響を受けます:
y = u*sin(θ)*t - 0.5*g*t²
ここで x
と y
は任意の時点での位置を表し、投射物の軌道を追跡するのに役立ちます。
さまざまなシナリオを通じたこれらの方程式の理解は、その有用性と重要性を物理教育の基本的な一部として浮き彫りにします。これらの概念を理解することで、物理世界での物体の運動を分析し、予測することができます。
結論
運動の方程式は、単純な自由落下運動から複雑な軌跡まで、現実世界の問題を解決する能力を学生に与えます。これらの方程式を習熟することは、動力学、流体力学、天体物理学などの高度な物理学のトピックにさらに進むための道具を提供します。
これらの基礎的な概念を基本的な物理学のコースの重要な部分として理解し、保持するために、例を使用したこれらの方程式の実用的な応用と視覚的な援助が役立ちます。