गतिकी के समीकरण (उन्नत व्युत्पत्ति)

गतिकी, यांत्रिकी की एक शाखा है जो वस्तुओं की गति से संबंधित है। यह उन बलों पर विचार किए बिना गति का वर्णन करता है जो गति का कारण बनते हैं। गतिकी के महत्वपूर्ण घटकों में से एक है गति के समीकरणों को समझना। ये समीकरण किसी वस्तु की वेग, त्वरण, विस्थापन और समय के बीच संबंध का वर्णन करते हैं।

मूल शब्दों को समझना

गतिकी के समीकरणों की उन्नत व्युत्पत्ति में जाने से पहले, कुछ मूल शब्दों को समझना महत्वपूर्ण है जो गतिज विज्ञान में उपयोग किए जाते हैं:

• विस्थापन ((s)): यह किसी वस्तु की स्थिति में परिवर्तन है। विस्थापन एक सदिश राशि है, जिसका अर्थ है इसकी दिशा और परिमाण दोनों हैं।
• वेग ((v)): विस्थापन का परिवर्तन दर। यह भी एक सदिश राशि है और इसे इस रूप में परिभाषित किया जा सकता है (v = frac{Delta s}{Delta t})।
• त्वरण ((a)): वेग के परिवर्तन की दर। यह एक सदिश मात्रा है जिसे इस रूप में व्यक्त किया गया है (a = frac{Delta v}{Delta t})।
• समय ((t)): वह मापा गया अवधि जिसमें गति होती है या बदलती है।

गतिकी के समीकरणों की व्युत्पत्ति

गतिकी के समीकरण यह मानते हुए व्युत्पन्न किए जाते हैं कि त्वरण ((a)) स्थिर है। गतिकी के तीन मौलिक समीकरण हैं जिन्हें समझे जाने की आवश्यकता है:

पहला गतिकी का समीकरण

गतिकी का पहला समीकरण इस रूप में दिया गया है:

v = u + at

जहां:

• (v) = अंतिम वेग
• (u) = प्रारंभिक वेग
• (a) = स्थिर त्वरण
• (t) = समय

व्युत्पत्ति: त्वरण की परिभाषा से शुरू करते हुए, हमारे पास है:

a = frac{v - u}{t}

इस समीकरण को पुनः व्यवस्थित करते हुए:

v = u + at

दृश्य उदाहरण

दृश्य उदाहरण में, एक वस्तु प्रारंभिक वेग (u) से शुरू होती है और समय (t) के साथ, यह दर पर (a) के साथ अंतिम वेग (v) तक पहुँचती है।

दूसरा गतिकी का समीकरण

गतिकी का दूसरा समीकरण है:

s = ut + frac{1}{2}at^2

जहां:

• (s) = विस्थापन

व्युत्पत्ति: औसत वेग की अवधारणा का उपयोग करें:

bar{v} = frac{u + v}{2}

पहले गतिकी के समीकरण से (v) को प्रतिस्थापित करें:

bar{v} = frac{u + (u + at)}{2} = u + frac{1}{2}at

विस्थापन ((s)) औसत वेग को समय से गुणा करके प्राप्त होता है:

s = bar{v} times t = left(u + frac{1}{2}atright)t = ut + frac{1}{2}at^2

दृश्य उदाहरण

इस दृश्य उदाहरण में, एक वस्तु शून्य से शुरू होती है और (a) दर पर (t) समय में त्वरण प्राप्त करती है, और विस्थापन (s) तक यात्रा करती है।

तीसरा गतिकी का समीकरण

गतिकी का तीसरा समीकरण है:

v^2 = u^2 + 2as

व्युत्पत्ति: पहले दो समीकरणों से शुरू करें। पहले वाले से:

v = u + at

दूसरे से, (t) को इस रूप में पुनःलिखें:

t = frac{v - u}{a}

इसकी पुनः प्रतिस्थापना विस्थापन अभिव्यक्ति में करें:

s = ut + frac{1}{2}at^2 rightarrow s = uleft(frac{vu}{a}right) + frac{1}{2}aleft(frac{vu}{a}right)^2

विस्तार और पुनः व्यवस्थित करें, (v^2) को किनारे रखते हुए:

v^2 = u^2 + 2as

दृश्य उदाहरण

इस दृश्य में, वस्तुओं पर त्वरण (a) लगाया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप प्रारंभिक वेग (u) विस्थापन (s) के दौरान अंतिम वेग (v) में बदल जाता है।

आवेदन

गतिकी के समीकरणों का उपयोग आरंभिक स्तर के भौतिकी और इंजीनियरिंग के कई अनुप्रयोगों में किया जाता है। वे वस्तुओं की प्रक्षेपवक्रियों की गणना करने, प्रणाली में बलों को समझने और बहुत कुछ करने में मदद करते हैं। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

उदाहरण 1: स्वतंत्र रूप से गिरने वाली वस्तुएं

एक वस्तु को 100 मीटर की ऊंचाई से 0 मीटर/सेकेंड की प्रारंभिक वेग के साथ गिराया जाता है। इसे जमीन तक गिरने में कितना समय लगता है, कैलकुलेट करें।

दिया गया: u = 0 m/s, s = 100 m, a = 9.8 m/s^2 (गुरुत्वाकर्षण द्वारा त्वरण)।

s = ut + frac{1}{2}at^2 का उपयोग करते हुए:

100 = 0 times t + frac{1}{2} times 9.8 times t^2

(t) के लिए हल करें:

t^2 = frac{200}{9.8}

(t approx 4.52) सेकंड

उदाहरण 2: कार का त्वरण

एक कार आराम से 10 सेकंड में 25 मीटर/सेकेंड की गति तक नियमित रूप से त्वरण करती है। कार द्वारा इस समय के दौरान कवर की गई दूरी का पता लगाएं।

दिया गया: u = 0 m/s, v = 25 m/s, t = 10 s

पहले गतिकी के समीकरण का उपयोग करके (a) का पता लगाएं:

v = u + at rightarrow 25 = 0 + a times 10

(a = 2.5 m/s^2)

अब दूसरे गतिकी के समीकरण का उपयोग करें:

s = ut + frac{1}{2}at^2 = 0 times 10 + 0.5 times 2.5 times 100

(s = 125) मीटर

उदाहरण 3: एक फेंकी गई गेंद की गति

एक गेंद को 20 मीटर/सेकेंड की वेग के साथ सीधे ऊपर फेंका जाता है। गेंद द्वारा पहुंची गई अधिकतम ऊंचाई का पता लगाएं।

दिया गया: u = 20 m/s , v = 0 m/s (अधिकतम ऊंचाई पर), a = -9.8 m/s^2

तीसरे गतिकी के समीकरण का उपयोग करते हुए:

v^2 = u^2 + 2as rightarrow 0 = 20^2 + 2 (-9.8) s

(400 = 19.6 सेकंड)

(s) के लिए हल करें:

(s approx 20.41) मीटर

निष्कर्ष

गतिकी के समीकरणों को समझना भौतिकी में विभिन्न गति के प्रकारों का विश्लेषण करने के लिए एक आवश्यक नींव प्रदान करता है। इन समीकरणों में महारत हासिल करके, छात्र वास्तविक-विश्व की समस्याओं को हल कर सकते हैं और गति की प्रकृति की अंतर्दृष्टि प्राप्त कर सकते हैं। ये समीकरण मौलिक उपकरण हैं और उन्नत अध्ययन और भौतिकी और इंजीनियरिंग में विभिन्न व्यावहारिक अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण बने रहते हैं।

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