Уравнения движения (расширенные выводы)

Динамика - это раздел механики, который занимается изучением движения объектов. Она описывает движение, не учитывая силы, вызывающие это движение. Одной из важных частей динамики является понимание уравнений движения. Эти уравнения описывают связь между скоростью объекта, ускорением, перемещением и временем.

Понимание основных терминов

Прежде чем переходить к расширенным выводам уравнений движения, важно понять некоторые базовые термины, используемые в кинематике:

• Перемещение ((s)): Это изменение положения объекта. Перемещение является векторной величиной, что означает, что у него есть как величина, так и направление.
• Скорость ((v)): Скорость изменения перемещения. Это тоже векторная величина и может быть определена как (v = frac{Delta s}{Delta t}).
• Ускорение ((a)): Скорость изменения скорости. Это векторная величина, выраженная как (a = frac{Delta v}{Delta t}).
• Время ((t)): Измеренный период времени, в течение которого происходит или изменяется скорость.

Вывод уравнений движения

Уравнения движения выводятся при условии, что ускорение ((a)) является постоянным. Существует три основных уравнения движения, которые необходимо понять:

Первое уравнение движения

Первое уравнение движения представлено как:

v = u + at

Где:

• (v) = конечная скорость
• (u) = начальная скорость
• (a) = постоянное ускорение
• (t) = время

Вывод: Начиная с определения ускорения, мы имеем:

a = frac{v - u}{t}

Перестановка этого уравнения дает:

v = u + at

Визуальный пример

В визуальном примере объект начинает с начальной скорости (u) и за период времени (t) ускоряется с ускорением (a), чтобы достичь конечной скорости (v).

Второе уравнение движения

Второе уравнение движения:

s = ut + frac{1}{2}at^2

Где:

• (s) = перемещение

Вывод: Используем концепцию средней скорости:

bar{v} = frac{u + v}{2}

Подставьте (v) из первого уравнения движения:

bar{v} = frac{u + (u + at)}{2} = u + frac{1}{2}at

Перемещение ((s)) получаем путем умножения средней скорости на время:

s = bar{v} times t = left(u + frac{1}{2}atright)t = ut + frac{1}{2}at^2

Визуальный пример

В этом визуальном примере объект начинает с покоя и ускоряется с ускорением (a) в течение времени (t), и проходит перемещение (s).

Третье уравнение движения

Третье уравнение движения:

v^2 = u^2 + 2as

Вывод: Начнем с первых двух уравнений. Из первого уравнения:

v = u + at

Из второго, перепишите (t) следующим образом:

t = frac{v - u}{a}

Повторно подставьте это в выражение для перемещения:

s = ut + frac{1}{2}at^2 rightarrow s = uleft(frac{vu}{a}right) + frac{1}{2}aleft(frac{vu}{a}right)^2

Раскройте и переставьте, оставив (v^2) отдельно:

v^2 = u^2 + 2as

Визуальный пример

В этом виде, ускорение (a) применяется к объектам, что приводит к изменению начальной скорости (u) до конечной скорости (v) за перемещение (s).

Применение

Уравнения движения используются в многочисленных приложениях в начальном уровне физики и инженерии. Они помогают вычислять траектории объектов, понимать силы в системе и многое другое. Вот некоторые примеры:

Пример 1: Свободно падающие объекты

Объект сбрасывается с высоты 100 м с начальной скоростью 0 м/с. Рассчитайте время, необходимое для падения на землю.

Дано: u = 0 м/с, s = 100 м, a = 9.8 м/с^2 (ускорение свободного падения).

Используя s = ut + frac{1}{2}at^2 :

100 = 0 times t + frac{1}{2} times 9.8 times t^2

Решите относительно (t):

t^2 = frac{200}{9.8}

(t approx 4.52) сек

Пример 2: Ускорение автомобиля

Автомобиль равномерно ускоряется с покоя до скорости 25 м/с за 10 секунд. Найдите расстояние, пройденное автомобилем за это время.

Дано: u = 0 м/с, v = 25 м/с, t = 10 сек

Найдите (a) используя первое уравнение движения:

v = u + at rightarrow 25 = 0 + a times 10

(a = 2.5 м/с^2)

Теперь используйте второе уравнение движения:

s = ut + frac{1}{2}at^2 = 0 times 10 + 0.5 times 2.5 times 100

(s = 125) метров

Пример 3: Скорость брошенного мяча

Мяч бросается вертикально вверх с начальной скоростью 20 м/с. Найдите максимальную высоту, достигнутую мячом.

Дано: u = 20 м/с , v = 0 м/с (на максимальной высоте), a = -9.8 м/с^2

Используя третье уравнение движения:

v^2 = u^2 + 2as rightarrow 0 = 20^2 + 2 (-9.8) s

(400 = 19.6 сек)

Решите относительно (s):

(s approx 20.41) метров

Заключение

Понимание уравнений движения предоставляет необходимую основу для анализа различных типов движения в физике. Освоив эти уравнения, студенты могут решать задачи из реального мира и получать представление о природе движения. Эти уравнения являются основными инструментами и остаются важными для углубленного изучения и различных практических приложений в физике и инженерии.

Комментарии