Grado 11
  1. Mecánica  1.1. dinámico  1.1.1. Movimiento en una dimensión  1.1.2. Movimiento en dos y tres dimensiones  1.1.3. Desplazamiento y Distancia  1.1.4. Velocidad y rapidez  1.1.5. Aceleración y desaceleración  1.1.6. Análisis gráfico del movimiento  1.1.7. Ecuaciones del movimiento (deducciones avanzadas)  1.1.8. Caída libre y velocidad terminal  1.1.9. Movimiento de proyectiles  1.1.10. Velocidad relativa en una y dos dimensiones  1.1.11. Movimiento de un coche en un plano inclinado  1.2. Dinámica  1.2.1. Leyes del movimiento de Newton y sus aplicaciones  1.2.2. Inercia y la primera ley de Newton  1.2.3. Fuerza y tipos de fuerza  1.2.4. Fricción estática y cinética  1.2.5. Movimiento circular y aceleración centrípeta  1.2.6. Movimiento circular no uniforme  1.2.7. Peralte de carreteras y curvas  1.2.8. Momento e Impulso  1.2.9. Conservación del momento en una y dos dimensiones  1.2.10. Aplicaciones de la Tercera Ley de Newton  1.3. Trabajo, Energía y Potencia  1.3.1. Trabajo realizado por una fuerza constante y variable  1.3.2. Teorema trabajo-energía  1.3.3. Energía cinética y potencial  1.3.4. Energía potencial gravitacional y elástica  1.3.5. Conservación de la energía mecánica  1.3.6. Energía y potencia instantánea  1.3.7. Eficiencia de las máquinas  1.3.8. Trabajo realizado por fuerzas conservativas y no conservativas  1.4. Movimiento rotacional  1.4.1. Torsión y aceleración angular  1.4.2. Equilibrio rotacional  1.4.3. Momento de inercia y sus aplicaciones  1.4.4. Momento angular y su conservación  1.4.5. Energía cinética del movimiento de rodadura y rotación  1.4.6. Teorema del Eje Paralelo y Perpendicular  1.4.7. Dinámica del movimiento rotacional
  2. Fuerza gravitacional  2.1. Gravitación universal  2.1.1. La ley de gravitación universal de Newton  2.1.2. Campo gravitacional y potencial  2.1.3. Cambio en la aceleración debido a la gravedad  2.1.4. Leyes del movimiento planetario de Kepler  2.1.5. Mecánica orbital y satélites  2.1.6. Velocidad de escape y velocidad orbital  2.1.7. Ingravidez y caída libre  2.1.8. Energía potencial gravitacional y energía en órbitas  2.1.9. Agujeros negros y lente gravitacional
  3. Propiedades de la materia  3.1. Mecánica de fluidos  3.1.1. Densidad y presión en líquidos  3.1.2. La teoría de Pascal y sus aplicaciones  3.1.3. Principio de Arquímedes y Flotabilidad  3.1.4. Ecuación de Bernoulli y sus aplicaciones  3.1.5. Ecuación de continuidad y el efecto Venturi  3.1.6. Tensión superficial y capilaridad  3.1.7. Viscosidad y la Ley de Poiseuille  3.1.8. Número de Reynolds y turbulencia  3.2. Elasticidad y deformación  3.2.1. La ley de Hooke y la relación tensión-deformación  3.2.2. Módulo de elasticidad y aplicaciones  3.2.3. Deformación y límite elástico de los sólidos
  4. Física térmica  4.1. Calor y temperatura  4.1.1. Propiedades termométricas y escala de temperatura  4.1.2. Expansión térmica de sólidos, líquidos y gases  4.1.3. Sistema de transferencia de calor  4.1.4. Capacidad calorífica específica y calorimetría  4.1.5. Calor latente y cambio de fase  4.2. Teoría cinética de los gases  4.2.1. Modelo molecular de los gases  4.2.2. Explicación cinética de la temperatura  4.2.3. Ecuación de Gas Ideal y Desviaciones  4.2.4. Camino libre medio y distribución de Maxwell–Boltzmann  4.3. Leyes de la Termodinámica  4.3.1. Zeroth Law y Equilibrio Térmico  4.3.2. Primera Ley y Energía Interna  4.3.3. La Segunda Ley y la Entropía  4.3.4. Ciclo de Carnot y motores térmicos  4.3.5. Refrigeradores y bombas de calor
  5. Ondas y oscilaciones  5.1. Movimiento Armónico Simple  5.1.1. Ecuaciones del MHS  5.1.2. Energía en MAS  5.1.3. Oscilaciones amortiguadas y forzadas  5.1.4. Resonancia y aplicaciones  5.1.5. Péndulo y sistema masa-resorte  5.2. Movimiento ondulatorio  5.2.1. Tipos de ondas mecánicas  5.2.2. Movimiento ondulatorio y transporte de energía  5.2.3. Principio de Superposición y Ondas Estacionarias  5.2.4. Reflexión, Refracción y Difracción  5.2.5. Efecto Doppler en sonido y luz  5.2.6. Pulsaciones e interferencia
  6. Electricidad y Magnetismo  6.1. Electrostática  6.1.1. Carga eléctrica y conservación  6.1.2. La ley de Coulomb y sus aplicaciones  6.1.3. Campo eléctrico y flujo eléctrico  6.1.4. Potencial eléctrico y energía potencial  6.1.5. Capacitancia y energía almacenada en un condensador  6.2. Electricidad Corriente  6.2.1. La ley de Ohm y la resistencia eléctrica  6.2.2. Resistividad y dependencia de la temperatura  6.2.3. Leyes de Kirchhoff y análisis de circuitos  6.2.4. Potencia eléctrica y eficiencia  6.2.5. Combinación de resistencias  6.3. Magnetismo y electromagnetismo  6.3.1. Campos magnéticos y sus fuentes  6.3.2. Fuerza magnética sobre cargas en movimiento  6.3.3. Inducción electromagnética  6.3.4. Leyes de Faraday y Lenz  6.3.5. Inductancia y Transformador  6.3.6. Corriente alterna y sus aplicaciones
  7. Óptica  7.1. Reflexión y Refracción  7.1.1. leyes de reflexión y refracción  7.1.2. Espejos y lentes  7.1.3. Reflexión interna total y fibra óptica  7.2. Óptica de ondas  7.2.1. Interferencia y Difracción  7.2.2. Experimento de la doble rendija de Young  7.2.3. Polarización de la luz
  8. Física Moderna  8.1.1. Efecto fotoeléctrico y la teoría de Einstein  8.1.2. Dualidad onda-partícula  8.1.3. El principio de incertidumbre de Heisenberg  8.1.4. Efecto Compton  8.2. Física Atómica y Nuclear  8.2.1. Modelo atómico y niveles de energía  8.2.2. Desintegración radiactiva y vida media  8.2.3. Fisión y Fusión Nuclear
  9. Electrónica y Comunicación  9.1. Semiconductores  9.1.1. uniones pn y diodo  9.1.2. Transistores y compuertas lógicas  9.1.3. Circuitos Integrados y Aplicaciones  9.2. Sistemas de comunicación  9.2.1. Conceptos básicos de la comunicación analógica y digital  9.2.2. Comunicación Inalámbrica y Óptica  9.2.3. Modulación y Demodulación

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Movimiento de proyectiles


El movimiento de proyectiles es un tema importante en el estudio de la dinámica, una rama de la mecánica que se ocupa del movimiento de objetos sin considerar las fuerzas que causan este movimiento. Entender el movimiento de proyectiles implica analizar la trayectoria que sigue un objeto cuando se lanza, se impulsa o se proyecta en el espacio. Un ejemplo clásico es una pelota lanzada al aire en un ángulo.

El movimiento de proyectiles ocurre cuando un objeto es lanzado al aire en un ángulo. El objeto seguirá una trayectoria curva debido al efecto de la gravedad, que actúa hacia abajo. Esta trayectoria a menudo se llama su trayectoria.

Componentes del movimiento de proyectiles

El movimiento de proyectiles se puede analizar descomponiéndolo en dos componentes: movimiento horizontal y vertical. La clave para entender el movimiento de proyectiles es reconocer que estos dos componentes de movimiento actúan independientemente uno del otro, excepto por el componente de tiempo. No hay fuerzas actuando horizontalmente (si ignoramos la resistencia del aire), mientras que la gravedad actúa verticalmente.

Velocidad horizontal

En la dirección horizontal, no hay fuerza actuando sobre el proyectil (suponiendo que la resistencia del aire es despreciable), y por lo tanto se mueve hacia adelante a una velocidad constante. Esto se puede describir con la ecuación:

( v_x = v_{0x} ) ( x = v_{0x} cdot t )

Donde:

  • ( v_x ) es la velocidad horizontal.
  • ( v_{0x} ) es la velocidad horizontal inicial.
  • ( x ) es la distancia horizontal recorrida.
  • ( t ) es el tiempo transcurrido.

Velocidad vertical

En la dirección vertical, el proyectil es afectado por la gravedad. Esto significa que acelerará hacia abajo a una tasa constante de (g), que es aproximadamente (9.81 , m/s^2) en la Tierra. Las ecuaciones para el movimiento vertical incluyen:

( v_y = v_{0y} - g cdot t ) ( y = v_{0y} cdot t - frac{1}{2} g cdot t^2 )

Donde:

  • ( v_y ) es la velocidad vertical.
  • ( v_{0y} ) es la velocidad vertical inicial.
  • ( y ) es el desplazamiento vertical.
  • ( g ) es la aceleración debida a la gravedad.

Ecuación general para el movimiento de proyectiles

Los dos componentes, horizontal y vertical, pueden combinarse en una descripción completa del movimiento de proyectiles. La velocidad inicial ( v_0 ) con la que el objeto es proyectado puede dividirse en sus componentes ( v_{0x} ) y ( v_{0y} ) utilizando el ángulo de proyección ( theta ):

( v_{0x} = v_0 cdot cos(theta) ) ( v_{0y} = v_0 cdot sin(theta) )

Estas velocidades de los componentes iniciales pueden usarse en las ecuaciones previas de movimiento horizontal y vertical para describir el movimiento completo del proyectil.

Trayectoria del proyectil

Un proyectil sigue una trayectoria parabólica porque el movimiento horizontal es uniforme y el movimiento vertical es uniformemente acelerado. Matemáticamente, la trayectoria o camino puede describirse como:

( y = x cdot tan(theta) - frac{g}{2 cdot v_{0x}^2} cdot x^2 )

Esta ecuación representa la trayectoria de un proyectil en ausencia de resistencia del aire.

Ejemplo de movimiento de proyectiles

Consideremos un ejemplo:

Supongamos que lanzas una pelota con una velocidad inicial de ( 20 , m/s ) en un ángulo de ( 30^circ ) con respecto a la horizontal. Determina cuán lejos viaja antes de tocar el suelo.

Solución paso a paso:

  1. Calcula los componentes de la velocidad inicial: 
    ( v_{0x} = 20 cdot cos(30^circ) = 20 cdot (√3/2) approx 17.32 , m/s ) ( v_{0y} = 20 cdot sin(30^circ) = 20 cdot (1/2) = 10 , m/s )
  2. Encuentra el tiempo de vuelo:

    Usa la ecuación de momento vertical donde la posición vertical final es 0 (cuando toca el suelo):

    ( y = v_{0y} cdot t - frac{1}{2} g cdot t^2 = 0 ) ( 10 cdot t - frac{1}{2} cdot 9.81 cdot t^2 = 0 ) ( t cdot (10 - frac{1}{2} cdot 9.81 cdot t) = 0 )

    Resolver esto para ( t ) es simple:

    ( t = 0 ) o ( t = frac{10}{4.905} approx 2.04 , s )

    Ya que ( t = 0 ) es el momento en que la pelota fue inicialmente lanzada, tomamos ( t = 2.04 , s ).

  3. Calcula la distancia horizontal (alcance):

    Ahora calcula la distancia, usando el tiempo de vuelo:

    ( x = v_{0x} cdot t = 17.32 cdot 2.04 approx 35.32 , m )

La pelota viaja una distancia de aproximadamente ( 35.32 , metros ) antes de caer al suelo.

Concepto visual

Miremos el movimiento de un proyectil a través de una representación gráfica simple de sus componentes y trayectoria.

Punto de proyección Cima Punto de impacto Trayectoria

En la ilustración anterior:

  • Las líneas negras indican el eje x (proyección horizontal) y el eje y (elevación vertical).
  • La curva azul muestra la trayectoria del proyectil.
  • Los círculos rojos representan los puntos de lanzamiento e impacto, mientras que el círculo verde representa el ápice, o el punto más alto de la trayectoria.

La física detrás del movimiento de proyectiles

La física detrás del movimiento de proyectiles involucra la interacción entre las fuerzas y las velocidades que actúan sobre el proyectil. Aquí hay un vistazo más de cerca:

Velocidad y ángulo inicial

La velocidad inicial y el ángulo de lanzamiento son importantes para determinar el alcance y la altura del proyectil. Al ajustar el ángulo de lanzamiento y la velocidad, la trayectoria del proyectil puede ser manipulada:

  • Un ángulo de lanzamiento de ( 45^circ ) generalmente maximiza el alcance cuando la resistencia del aire es ignorada.
  • Un ángulo más empinado resulta en una distancia más corta, pero una altura máxima más alta.
  • El ángulo más llano resulta en una mayor distancia, pero una altura máxima más baja.

Libertad de movimiento

La independencia de los componentes horizontal y vertical simplifica el análisis del movimiento de proyectiles. Esta teoría establece:

  • Si se ignora la resistencia del aire, la velocidad horizontal permanece constante.
  • Una vez que el proyectil está en movimiento, el movimiento vertical es enteramente afectado por la gravedad.

Factores que afectan el movimiento de proyectiles

Al resolver problemas ideales de movimiento de proyectiles, varios factores del mundo real pueden afectar el movimiento:

Resistencia del aire

La resistencia del aire actúa en dirección opuesta al movimiento y puede afectar significativamente tanto la velocidad horizontal como la altitud máxima:

  • Esto reduce el alcance y la altitud del proyectil.
  • En presencia de resistencia del aire, la trayectoria se vuelve más compleja y menos predecible.

Spin y elevación

Algunos proyectiles, como pelotas o Frisbees, pueden tener rotación. La rotación puede crear elevación, lo que puede cambiar el camino del proyectil:

  • El efecto Magnus causa que proyectiles con rotación experimenten elevación perpendicular a su velocidad.
  • La rotación puede estabilizar el proyectil, afectando la precisión en deportes como el golf o el fútbol.

Ejemplo de problema avanzado

Veamos un ejemplo más complejo que involucra el movimiento de proyectiles.

Un cañonazo es disparado desde el borde de un acantilado ( 100 , m ) sobre el nivel del mar, en un ángulo de ( 37^circ ) con la horizontal, con una velocidad inicial de ( 50 , m/s ). ¿A qué distancia de la base del acantilado caerá al mar?

Pasos de solución:

  1. Determina los componentes de la velocidad inicial: 
    ( v_{0x} = 50 cdot cos(37^circ) = 50 cdot 0.7986 approx 39.93 , m/s ) ( v_{0y} = 50 cdot sin(37^circ) = 50 cdot 0.6018 approx 30.09 , m/s )
  2. Encuentra el tiempo de vuelo:

    Usa la ecuación de momento vertical donde la posición vertical final toma en cuenta la altura de la roca:

    ( y = v_{0y} cdot t - frac{1}{2} g cdot t^2 = -100 ) ( 30.09 cdot t - frac{1}{2} cdot 9.81 cdot t^2 = -100 )

    Resolver esta ecuación cuadrática da:

    ( t approx 8.71 , s )
  3. Calcula la distancia horizontal (alcance) cuando el cañonazo golpea el mar: 
    ( x = v_{0x} cdot t = 39.93 cdot 8.71 approx 347.72 , m )

El cañonazo caerá al mar a unos ( 347.72 , metros ) sobre la base del acantilado.

Conclusión

El movimiento de proyectiles proporciona una descripción elegante de cualquier objeto proyectado en el espacio, sujeto solo a la gravedad. Entender cómo descomponer los diversos componentes del movimiento y cómo calcularlos es esencial para predecir trayectorias en aplicaciones de física e ingeniería.

El estudio del movimiento de proyectiles equipa a los estudiantes con las habilidades necesarias para resolver problemas del mundo real, mejorar su comprensión de los conceptos físicos y aplicar estos principios en escenarios prácticos.


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