एक और दो आयामों में संवेग संरक्षण

भौतिकी में संवेग एक महत्वपूर्ण अवधारणा है। यह किसी वस्तु की गति की मात्रा को संदर्भित करता है और दो चर पर निर्भर करता है: वस्तु का द्रव्यमान और उसकी वेग। संवेग का गणितीय निरूपण निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

p = m * v

यहाँ, p गति है, m द्रव्यमान है, और v वस्तु की वेग है। गति की इकाई किलोग्राम मीटर प्रति सेकंड (किग्रा मी/से) है।

संवेग संरक्षण का सिद्धांत

संवेग के संरक्षण का नियम बताता है कि एक पृथक प्रणाली में, किसी घटना से पहले का कुल संवेग घटना के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है, बशर्ते उस पर कोई बाहरी बल कार्य न कर रहा हो। गणितीय रूप से, दो टकराने वाली वस्तुओं के लिए, सिद्धांत को निम्न रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

m1 * v1_initial + m2 * v2_initial = m1 * v1_final + m2 * v2_final

एक आयाम में गति को समझना

एक आयामी गति में, वस्तुएं एक सीधी रेखा में चलती हैं। कल्पना कीजिए कि दो कारें सीधी सड़क पर टकरा रही हैं। उनका परस्पर क्रिया इस प्रकार हो सकता है:

संवेग संरक्षण के अनुसार:

m1 * v1_initial + m2 * v2_initial = m1 * v1_final + m2 * v2_final

यह समीकरण टक्कर के बाद अज्ञात वेगों की गणना करने में हमारी मदद करता है।

एक आयाम में उदाहरण समस्या

मान लीजिए दो आइस स्केटर्स हैं, जिनमें से एक का द्रव्यमान 50 किग्रा है और वेग 4 मी/से है, जबकि दूसरे का द्रव्यमान 30 किग्रा है और वेग -2 मी/से है। टक्कर के बाद, वे एक साथ जड़ित हो जाते हैं और एक द्रव्यमान के रूप में चलते हैं। टक्कर के बाद उनका वेग ज्ञात करें।

दी गई जानकारी:

• m1 = 50 किग्रा, v1_initial = 4 मी/से
• m2 = 30 किग्रा, v2_initial = -2 मी/से

संवेग संरक्षण का उपयोग करते हुए:

(50 किग्रा * 4 मी/से) + (30 किग्रा * -2 मी/से) = (50 किग्रा + 30 किग्रा) * v_final

सरलीकरण:

200 किग्रा · मी/से - 60 किग्रा · मी/से = 80 किग्रा * v_final

140 किग्रा · मी/से = 80 किग्रा * v_final

v_final को हल करें:

v_final = 140 किग्रा · मी/से / 80 किग्रा = 1.75 मी/से

टक्कर के बाद दोनों स्केटर्स का वेग 1.75 मी/से है।

दो आयामों में गति

दो आयामी गति में, वस्तुएं विभिन्न रास्तों के साथ कोण बनाते हुए चल सकती हैं। दो आयामों में गति की गणना करने के लिए इसे दो लम्बवत घटकों में बांटा जाता है, जो अक्सर x और y अक्ष होते हैं।

उदाहरण के साथ समझें

कल्पना कीजिए कि दो पक्स एक एयर हॉकी टेबल पर कोण पर टकरा रहे हैं। इसे नीचे दिखाया गया है:

अंतिम वेगों की गणना करने के लिए, हम पक के वेगों को घटकों में विभाजित करते हैं। x और y घटकों के लिए संवेग संरक्षण का उपयोग करते हुए:

mA * vA_initial_x + mB * vB_initial_x = mA * vA_final_x + mB * vB_final_x
mA * vA_initial_y + mB * vB_initial_y = mA * vA_final_y + mB * vB_final_y

दो आयामों में उदाहरण समस्या

मान लीजिए कि पक A, जिसका द्रव्यमान 0.5 किग्रा है, x-अक्ष के साथ 4 मी/से की गति से चलता है, और पक B, जिसका द्रव्यमान 0.5 किग्रा है, y-अक्ष के साथ 3 मी/से की गति से चलता है। टक्कर के बाद, पक A 37 डिग्री के कोण पर x-अक्ष के साथ 3 मी/से की वेग से चलता है। पक B का अंतिम वेग (दोनों परिमाण और दिशा) ज्ञात करें।

दी गई जानकारी:

• mA = 0.5 किग्रा, vA_initial = 4 मी/से
• mB = 0.5 किग्रा, vB_initial = 3 मी/से

टक्कर के बाद पक A के घटकों में विभाजन:

• vA_final_x = 3 मी/से * cos(37°)
• vA_final_y = 3 मी/से * sin(37°)

घटकों की गणना:

vA_final_x ≈ 3 मी/से * 0.8 = 2.4 मी/से
vA_final_y ≈ 3 मी/से * 0.6 = 1.8 मी/से

संवेग संरक्षण के लिए:

mA * vA_initial_x + mB * 0 = mA * vA_final_x + mB * vB_final_x
0.5 किग्रा * 4 मी/से = 0.5 किग्रा * 2.4 मी/से + 0.5 किग्रा * vB_final_x

vB_final_x को हल करें:

2 किग्रा · मी/से = 1.2 किग्रा · मी/से + 0.5 किग्रा * vB_final_x
vB_final_x ≈ 1.6 मी/से

और y-घटकों के लिए:

0 + 0.5 किग्रा * 3 मी/से = 0.5 किग्रा * 1.8 मी/से + 0.5 किग्रा * vB_final_y
vB_final_y ≈ 2.4 मी/से

पक B की अंतिम वेग का परिमाण इस प्रकार ज्ञात किया जाता है:

vB_final = √((vB_final_x)² + (vB_final_y)²)

vB_final ≈ √((1.6 मी/से)² + (2.4 मी/से)²) ≈ 2.88 मी/से

दिशा ज्ञात करने के लिए, निम्नलिखित का उपयोग करें:

θ = arctan(vB_final_y / vB_final_x)

θ ≈ arctan(2.4 / 1.6) ≈ 56.3°

इसलिए, टक्कर के बाद, पक B x-अक्ष के सापेक्ष 56.3 डिग्री के कोण पर लगभग 2.88 मी/से की गति से चलती है।

निष्कर्ष

संवेग संरक्षण को समझने से हमें यह अनुमान लगाने में मदद मिलती है कि जब वस्तुयें आपस में टकराती हैं तो वे कैसे व्यवहार करती हैं। वास्तविक जीवन में, ये सिद्धांत विभिन्न क्षेत्रों जैसे कि कार दुर्घटना विश्लेषण, खेल गतिकी और कई अन्य क्षेत्रों में लागू होते हैं। ऐसे समस्याओं को हल करने की कुंजी प्रत्येक दिशा में घटकों को सावधानीपूर्वक विभाजित करना और स्वायत्तता से संरक्षण का कानून लागू करना है।

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