平行軸の定理と垂直軸の定理
回転運動の世界では、特定の軸の周りに回転する物体を扱うことがよくあります。これらの運動を適切に理解するためには、平行軸の定理と垂直軸の定理という2つの重要な定理を知る必要があります。これらの定理は、回転する物体の挙動を分析し予測する上で重要な役割を果たす慣性モーメントの計算に役立ちます。
慣性モーメント
これらの2つの定理に進む前に、まず慣性モーメントが何であるかを理解しましょう。慣性モーメントは、物体の回転の変化に対する抵抗の尺度です。線形運動における質量に似ています。質量が多いほど動き始めたり止まったりするのが難しくなるのと同様に、慣性モーメントが多いほど回転を始めたり止めたりするのが難しくなります。
慣性モーメントは、回転軸に対する物体の質量の分布に依存します。数学的には、慣性モーメントIは以下のように計算されます：
I=Σmr²
ここで、mは物体の小さな要素の質量であり、rはこの質量と回転軸との距離です。
平行軸の定理
回転軸が物体の重心から別の平行軸に移動すると、慣性モーメントの計算は少し複雑になります。平行軸の定理は、この問題の解決策を提供します。それは次のように述べています：
I = Icm + Md²
この方程式では：
Iは新しい軸に対する慣性モーメントです。Icmは重心を通る基本軸に対する慣性モーメントです。Mは物体の総質量です。dは元の軸と重心を通る新しい軸との間の垂直距離です。
例：棒の回転
質量Mと長さLを持つ一様な棒を考え、端にピボットしてその長さに垂直な軸を中心に回転する場合を考えます。中心を通過する軸に対する棒の慣性モーメントは次の通りです：
Icm = (1/12) ml²
棒の端（平行軸）に対する慣性モーメントを求めるには、平行軸の定理を使用します：
I = Icm + Md²
ここでは、d = L/2（重心は棒の中央にあるため）です。これらの値を代入すると、次のようになります：
I = (1/12)ML² + M(L/2)² = (1/12)ML² + (1/4)ML² = (1/3)ML²
ビジュアル例
垂直軸の定理
垂直軸の定理は、しばしば平面物体と呼ばれる平面物体に適用されます。物体の平面内にx軸とy軸という2つの垂直軸が存在し、それらが交わる点を通る平面に垂直な軸がz軸である場合、2つの平面軸に対する慣性モーメントの合計は、垂直軸に対する慣性モーメントに等しいと述べています。数学的には：
Iz = Ix + Iy
例：ディスクの回転
質量Mと半径Rを持つディスクを考えます。垂直軸の定理を使用して、ディスクの中心を通る軸zに対する慣性モーメントを求めたいとします。
対称ディスクの場合、x軸とy軸（両方ともディスクの平面内にある）に対する慣性モーメントは等しいです。
Ix = Iy = (1/4)MR²
垂直軸の定理を使用すると：
Iz = Ix + Iy = (1/4)MR² + (1/4)MR² = (1/2)MR²
ビジュアル例
定理の組み合わせ：分析
実際のシナリオでは、これらの2つの定理がしばしば組み合わされて、回転を含む複雑な問題を簡素化できます。たとえば、ディスクや長方形のような平面物体の場合、その慣性モーメントを中心から離れた軸について計算する必要がある場合です。平行軸と垂直軸の定理を戦略的に使用することで、全体の積分手続きを最初から解くことなく、必要な慣性モーメントを効率的に決定できます。
例のシナリオ
wの幅とhの高さを持つ薄い長方形の板があり、コースの中心x = 0から1メートル上の幅に平行な軸に対する慣性モーメントを見つける必要があるとしましょう。これを解くには、次のようにします：
- 垂直軸の定理を使用して重心を通る慣性モーメントを計算します。
- 平行軸の定理を使用してシフトを行います。
これらのステップを明確にするために探りましょう：
ステップ1：重心を通る慣性モーメント
目的の軸に沿った物体を平面ビューから見ると、垂直軸の定理が成り立ちます：
Iz = Ix + Iy
薄い長方形の場合：
Ix = (1/12)wh³
Iy = (1/12)hw³
ステップ2：平行軸の定理の適用
次に、軸を1メートル上に移動して次のように使用します：
I = Icm + M(d)²
軸の変位に対してd = 1を代入します。
回転動力学における平行軸の定理と垂直軸の定理を理解することは、回転運動の状況から生じる複雑さを大幅に軽減することができます。これらの基本原則を理解することで、物理学において非常にシンプルな問題解決アプローチが可能になります。
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