Grade 11
  1. Mecânica  1.1. dinâmicas  1.1.1. Movimento em uma dimensão  1.1.2. Movimento em duas e três dimensões  1.1.3. Deslocamento e Distância  1.1.4. Velocidade e Rapidez  1.1.5. Aceleração e desaceleração  1.1.6. Análise gráfica do movimento  1.1.7. Equações do movimento (derivações avançadas)  1.1.8. Queda livre e velocidade terminal  1.1.9. Movimento de projéteis  1.1.10. Velocidade relativa em uma e duas dimensões  1.1.11. Movimento de um carro em um plano inclinado  1.2. Dinâmica  1.2.1. As leis do movimento de Newton e suas aplicações  1.2.2. Inércia e a primeira lei de Newton  1.2.3. Força e tipos de força  1.2.4. Atrito estático e cinético  1.2.5. Movimento circular e aceleração centrípeta  1.2.6. Movimento circular não uniforme  1.2.7. Bancagem de estradas e curvas  1.2.8. Momento e Impulso  1.2.9. Conservação do momento em uma e duas dimensões  1.2.10. Aplicações da Terceira Lei de Newton  1.3. Work, Energy and Power  1.3.1. Trabalho realizado por uma força constante e variável  1.3.2. Teorema trabalho-energia  1.3.3. Energia cinética e potencial  1.3.4. Energia potencial gravitacional e elástica  1.3.5. Conservação da energia mecânica  1.3.6. Poder e potência instantânea  1.3.7. Eficiência das máquinas  1.3.8. Trabalho realizado por forças conservativas e não conservativas  1.4. Movimento rotacional  1.4.1. Torque e aceleração angular  1.4.2. Equilíbrio rotacional  1.4.3. Momento de inércia e suas aplicações  1.4.4. Momento angular e sua conservação  1.4.5. Energia cinética de movimento de rotação e rotação  1.4.6. Teorema dos Eixos Paralelos e Perpendiculares  1.4.7. Dinâmica do movimento rotacional
  2. Gravitational force  2.1. Gravitação universal  2.1.1. Lei da gravitação universal de Newton  2.1.2. Campo gravitacional e potencial  2.1.3. Mudança na aceleração devido à gravidade  2.1.4. Leis do movimento planetário de Kepler  2.1.5. Mecânica orbital e satélites  2.1.6. Velocidade de escape e velocidade orbital  2.1.7. Ausência de peso e queda livre  2.1.8. Energia potencial gravitacional e energia em órbitas  2.1.9. Buracos negros e lente gravitacional
  3. Propriedades da matéria  3.1. Mecânica dos fluidos  3.1.1. Densidade e pressão em líquidos  3.1.2. A teoria de Pascal e aplicações  3.1.3. O Princípio de Arquimedes e a flutuação  3.1.4. A equação de Bernoulli e aplicações  3.1.5. Equação de continuidade e o efeito Venturi  3.1.6. Tensão superficial e capilaridade  3.1.7. Viscosidade e Lei de Poiseuille  3.1.8. Número de Reynolds e turbulência  3.2. Elasticidade e deformação  3.2.1. Lei de Hooke e a relação tensão-deformação  3.2.2. Módulo de elasticidade e aplicações  3.2.3. Deformação e limite de escoamento de sólidos
  4. Física térmica  4.1. Calor e temperatura  4.1.1. Propriedades termométricas e escala de temperatura  4.1.2. Expansão térmica de sólidos, líquidos e gases  4.1.3. Sistema de transferência de calor  4.1.4. Capacidade calorífica específica e calorimetria  4.1.5. Calor latente e mudança de fase  4.2. Kinetic theory of gases  4.2.1. Modelo molecular dos gases  4.2.2. Explicação cinética da temperatura  4.2.3. Equação do Gás Ideal e Desvios  4.2.4. Caminho livre médio e distribuição de Maxwell-Boltzmann  4.3. Leis da Termodinâmica  4.3.1. Lei Zero e Equilíbrio Térmico  4.3.2. Primeira Lei e Energia Interna  4.3.3. A Segunda Lei e Entropia  4.3.4. Ciclo de Carnot e motores térmicos  4.3.5. Refrigeradores e Bombas de Calor
  5. Ondas e oscilações  5.1. Movimento Harmônico Simples  5.1.1. Equações do MHS  5.1.2. Energia no MHS  5.1.3. Oscilações amortecidas e forçadas  5.1.4. Ressonância e aplicações  5.1.5. Pêndulo e sistema massa-mola  5.2. Movimento ondulatório  5.2.1. Tipos de ondas mecânicas  5.2.2. Movimento das ondas e transporte de energia  5.2.3. Princípio da Superposição e Ondas Estacionárias  5.2.4. Reflexão, Refração e Difração  5.2.5. Efeito Doppler em som e luz  5.2.6. Pulsos e interferência
  6. Eletricidade e Magnetismo  6.1. Eletrostática  6.1.1. Carga elétrica e conservação  6.1.2. A lei de Coulomb e suas aplicações  6.1.3. Campo elétrico e fluxo elétrico  6.1.4. Potencial elétrico e energia potencial  6.1.5. Capacitance and Energy Stored in a Capacitor  6.2. Eletricidade Atual  6.2.1. Lei de Ohm e resistência elétrica  6.2.2. Resistência e dependência de temperatura  6.2.3. Leis de Kirchhoff e Análise de Circuitos  6.2.4. Potência elétrica e eficiência  6.2.5. Combinação de resistores  6.3. Magnetismo e Eletromagnetismo  6.3.1. Campos magnéticos e suas fontes  6.3.2. Força magnética em cargas em movimento  6.3.3. Indução eletromagnética  6.3.4. Leis de Faraday e Lenz  6.3.5. Indutância e Transformador  6.3.6. Corrente alternada e suas aplicações
  7. Óptica  7.1. Reflexão e Refração  7.1.1. leis da reflexão e refração  7.1.2. Espelhos e lentes  7.1.3. Reflexão interna total e fibra óptica  7.2. Óptica de ondas  7.2.1. Interferência e Difração  7.2.2. Experimento da dupla fenda de Young  7.2.3. Polarização da luz
  8. Física Moderna  8.1.1. Efeito fotoelétrico e a teoria de Einstein  8.1.2. Dualidade onda-partícula  8.1.3. Princípio da Incerteza de Heisenberg  8.1.4. Compton Effect  8.2. Física Atômica e Nuclear  8.2.1. Modelo atômico e níveis de energia  8.2.2. Decaimento radioativo e meia-vida  8.2.3. Fissão Nuclear e Fusão
  9. Eletrônica e Comunicação  9.1. Semicondutores  9.1.1. junção pn e diodo  9.1.2. Transistores e Portas Lógicas  9.1.3. Circuitos Integrados e Aplicações  9.2. Sistemas de Comunicação  9.2.1. Noções básicas de Comunicação Analógica e Digital  9.2.2. Comunicação Sem Fio e Óptica  9.2.3. Modulação e Demodulação

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Teorema dos Eixos Paralelos e Perpendiculares


No mundo do movimento rotacional, frequentemente lidamos com objetos girando em torno de um eixo particular. Para entender adequadamente esses movimentos, precisamos conhecer dois teoremas importantes: o teorema do eixo paralelo e o teorema do eixo perpendicular. Esses teoremas nos auxiliam a calcular momentos de inércia, que desempenham um papel vital na análise e previsão do comportamento de objetos em rotação.

Momento de inércia

Antes de mergulhar nos dois teoremas, vamos primeiro entender o que é momento de inércia. O momento de inércia é uma medida da resistência de um objeto a uma mudança em sua rotação. É semelhante à massa no movimento linear - assim como mais massa torna mais difícil começar ou parar de se mover, mais momento de inércia torna mais difícil começar ou parar de girar.

O momento de inércia depende de como a massa do objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Em termos matemáticos, o momento de inércia I é calculado como:

I=Σmr²

onde m é a massa de um pequeno elemento do objeto e r é a distância dessa massa do eixo de rotação.

Teorema do eixo paralelo

Quando o eixo de rotação é deslocado do centro de massa de um corpo para outro eixo paralelo, o cálculo do momento de inércia se torna um pouco mais complicado. O teorema do eixo paralelo fornece uma solução para esse problema. Ele afirma que:

I = Icm + Md²

Nesta equação:

  • I é o momento de inércia em relação ao novo eixo.
  • Icm é o momento de inércia em relação ao eixo fundamental através do centro de massa.
  • M é a massa total do objeto.
  • d é a distância perpendicular entre o eixo original e o novo eixo através do centro de massa.

Exemplo: Rotação de uma haste

Considere uma haste uniforme de massa M e comprimento L girando em torno de um eixo perpendicular ao seu comprimento e pivotado em uma extremidade. O momento de inércia da haste em relação a um eixo passando por seu centro é:

Icm = (1/12) ml²

Para encontrar o momento de inércia em relação à extremidade da haste (eixo paralelo), usamos o teorema do eixo paralelo:

I = Icm + Md²

Aqui, d = L/2 (já que o centro de massa está no meio da haste). Substituindo os valores, obtemos:

I = (1/12)ML² + M(L/2)² = (1/12)ML² + (1/4)ML² = (1/3)ML²

Exemplo visual

Novo pivô Eixo do centro de massa D = L/2 L

Teorema do eixo perpendicular

O teorema do eixo perpendicular se aplica a objetos planos, comumente chamados de objetos planos. Ele afirma que se dois eixos perpendiculares, x e y, existirem no plano de um objeto, e z for o eixo perpendicular ao plano no ponto onde os dois eixos se intersectam, então a soma dos momentos de inércia sobre os dois eixos do plano é igual ao momento de inércia em relação ao eixo perpendicular. Matematicamente:

Iz = Ix + Iy

Exemplo: Rotação de um disco

Consideremos um disco de massa M e raio R. Queremos encontrar o momento de inércia em relação a um eixo z passando pelo centro do disco usando o teorema do eixo perpendicular.

Para um disco simétrico, os momentos de inércia em relação aos eixos x e y (ambos no plano do disco) são iguais.

Ix = Iy = (1/4)MR²

Usando o teorema do eixo perpendicular:

Iz = Ix + Iy = (1/4)MR² + (1/4)MR² = (1/2)MR²

Exemplo visual

Eixo X Eixo Y Eixo Z

Combinando teoremas: Análise

Em cenários práticos, esses dois teoremas podem frequentemente ser combinados para simplificar problemas complexos que envolvem rotação. Por exemplo, considere um objeto plano como um disco ou retângulo cujo momento de inércia deve ser calculado em relação a um eixo afastado do centro. Ao empregar estrategicamente tanto o teorema do eixo paralelo quanto o do eixo perpendicular, pode-se determinar de forma eficiente o momento de inércia necessário sem ter que resolver todo o procedimento de integração do zero.

Cenário de exemplo

Suponha que temos uma placa retangular fina com largura w e altura h, e precisamos encontrar seu momento de inércia em relação a um eixo paralelo à sua largura, mas 1 m acima do centro de massa x = 0. Para resolver isso, podemos fazer o seguinte:

  1. Calcular o momento de inércia passando pelo centro de massa usando o teorema do eixo perpendicular.
  2. Usar o teorema do eixo paralelo para o deslocamento.

Vamos explorar essas etapas para clareza:

Etapa 1: Momento de inércia através do centro de massa

Se você olhar o objeto de sua vista em plano, ao longo do eixo de interesse, o teorema do eixo perpendicular se sustenta:

Iz = Ix + Iy

Para um retângulo fino:

Ix = (1/12)wh³
Iy = (1/12)hw³

Etapa 2: Aplicando o teorema do eixo paralelo

Agora use o seguinte para mover o eixo 1 metro verticalmente:

I = Icm + M(d)²

Substitua d = 1 pelo deslocamento do eixo.

Compreender os teoremas paralelos e perpendiculares em dinâmica rotacional pode reduzir grandemente algumas das complexidades que surgem de situações de movimento rotacional. Compreender esses princípios básicos permite abordagens de resolução de problemas muito mais simples dentro da física.


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Teorema dos Eixos Paralelos e Perpendiculares

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