平行轴和垂直轴定理
在旋转运动的世界里，我们经常处理绕特定轴旋转的物体。为了正确理解这些运动，我们需要了解两个重要的定理：平行轴定理和垂直轴定理。这些定理帮助我们计算惯性矩，惯性矩在分析和预测旋转物体的行为中起着至关重要的作用。
惯性矩
在深入探讨两个定理之前，我们先来了解什么是惯性矩。惯性矩是物体旋转变化的阻力的量度。它类似于线性运动中的质量——就像更多的质量使得开始或停止移动更加困难一样，更多的惯性矩使得开始或停止旋转更加困难。
惯性矩取决于物体相对于旋转轴的质量分布。从数学上讲，惯性矩I计算为：
I=Σmr²
其中m是物体的小部分质量，r是该质量到旋转轴的距离。
平行轴定理
当旋转轴从物体的质心转移到另一条平行轴时，惯性矩的计算变得更加复杂。平行轴定理提供了一个解决方案。它指出：
I = Icm + Md²
在这个方程中：
I是关于新轴的惯性矩。Icm是通过质心的基本轴的惯性矩。M是物体的总质量。d是原轴和通过质心的新轴之间的垂直距离。
示例：杆的旋转
考虑一根质量为M，长度为L的均匀杆围绕垂直于其长度并以一端为轴旋转。通过其中心轴的杆的惯性矩为：
Icm = (1/12) ml²
要找到围绕杆端（平行轴）的惯性矩，我们使用平行轴定理：
I = Icm + Md²
这里d = L/2（因为质心在杆的中间）。替换值，我们得到：
I = (1/12)ML² + M(L/2)² = (1/12)ML² + (1/4)ML² = (1/3)ML²
视觉示例
垂直轴定理
垂直轴定理适用于平面物体，通常称为平面对象。它指出，如果在物体的平面内存在两个垂直轴x和y，z则是通过两轴相交点垂直于平面的轴，则关于平面内两个轴的惯性矩之和等于垂直轴的惯性矩。从数学上讲：
Iz = Ix + Iy
示例：盘的旋转
让我们考虑一个质量为M，半径为R的盘。我们想要通过使用垂直轴定理找到通过盘中心的轴z的惯性矩。
对于对称盘，关于x和y轴（都在盘的平面内）的惯性矩相等。
Ix = Iy = (1/4)MR²
使用垂直轴定理：
Iz = Ix + Iy = (1/4)MR² + (1/4)MR² = (1/2)MR²
视觉示例
结合定理：分析
在实际场景中，这两个定理经常可以结合使用，以简化涉及旋转的复杂问题。例如，考虑平面物体如圆盘或矩形，其惯性矩必须计算出离中心的轴。通过战略性地应用平行轴和垂直轴定理，可以有效地确定所需的惯性矩，而不必从头开始解决整个积分过程。
示例场景
假设我们有一个宽度为w，高度为h的薄矩形板，我们需要找到其关于平行于其宽度但在质心x=0上方1米处的轴的惯性矩。为了解决这个问题，我们可以这样做：
- 使用垂直轴定理计算通过质心的惯性矩。
- 利用平行轴定理进行位移。
让我们探索这些步骤以取得清晰的理解：
步骤1：通过质心的惯性矩
如果从其平面视图沿感兴趣的轴看物体，垂直轴定理适用：
Iz = Ix + Iy
对于薄矩形：
Ix = (1/12)wh³
Iy = (1/12)hw³
步骤2：应用平行轴定理
现在使用以下方法水平移轴1米：
I = Icm + M(d)²
将d=1替代轴位移。
了解旋转动力学中的平行轴和垂直轴定理可以大大减少由旋转运动情况引起的一些复杂性。了解这些基本原理使得在物理学中有更简单的问题解决方法。
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