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लंबक और स्प्रिंग-मास प्रणाली

भौतिकी में, तरंगों और दोलनों का अध्ययन कई प्रकटाओं के अंतर्निहित सिद्धांतों को समझने के लिए मूलभूत है। इस अध्ययन का एक महत्वपूर्ण भाग सरल आवर्त गति, या SHM के रूप में जाना जाता है। SHM उस प्रकार की दोलन गति को वर्णित करता है जहाँ किसी वस्तु पर कार्य कर रही शक्ति उसके संतुलन स्थिति से उसके विस्थापन के समानुपाती होती है और उस संतुलन की ओर कार्य करती है। जो दो सबसे प्रेरक प्रणालियाँ SHM को प्रस्तुत करती हैं, वे हैं लंबक और स्प्रिंग-मास प्रणाली।

सरल लंबक

एक सरल लंबक एक द्रव्यमान से बना होता है, जिसे बॉब कहा जाता है, जो लंबाई (L) की डोरी से जुड़ा होता है और गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में आगे-पीछे झूलता है। यह एक क्लासिक उदाहरण है SHM का जब झूलने का कोण छोटा होता है।

लंबक के घटक

बॉब: एक द्रव्यमान जो लंबक के अंत में होता है।
डोरी: लंबाई ( L ), जिसका भारहीन और कठोर माना जाता है।
पिवट बिंदु: वह स्थिर बिंदु जहाँ से लंबक झूलता है।

लंबक की SHM की गणित

जब लंबक अपनी विश्रांति स्थिति से विस्थापित हो जाता है, तो उस पर गुरुत्वाकर्षण के कारण एक लौटाने वाली शक्ति होती है। यह शक्ति उसे संतुलन स्थिति में वापस लाती है। छोटे कोणों के लिए (लगभग 15 डिग्री से कम), इस शक्ति को विस्थापन के समानुपाती माना जा सकता है, जो एक सरल आवर्तक दोलक में लीड करता है।

लंबक की गति की समीकरण इस रूप में दी जाती है:

[theta''(t) + frac{g}{L} sin(theta(t)) = 0]

छोटे कोणों के लिए, ( sin(theta) approx theta ), और समीकरण सरल हो जाती है:

[theta''(t) + frac{g}{L} theta(t) = 0]

इस अवकल समीकरण का समाधान है:

[theta(t) = theta_0 cosleft(sqrt{frac{g}{L}} t + phiright)]

जहाँ:

(theta_0) अधिकतम विस्थापन का कोण है।
(g) गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है।
(phi) चरणात्मक स्थिरांक है, जो प्रारंभिक स्थितियों द्वारा निर्धारित होता है।

सरल लंबक गति के विशेषताएँ

आवृति (T): सरल लंबक की अवधि वह समय है जो इसे अपनी गति के एक पूर्ण चक्र को पूरा करने में लगता है। यह ऐसी दी जाती है:
```
[T = 2pi sqrt{frac{L}{g}}]
```
यह ध्यान देना आवश्यक है कि समय अवधि बॉब के द्रव्यमान और गति के आयाम पर निर्भर नहीं करती (छोटे कोणों के लिए)।
फ्रीक्वेंसी ( f ): आवृत्ति अवधि की व्युत्क्रमी होती है:
```
[f = frac{1}{T} = frac{1}{2pi} sqrt{frac{g}{L}}]
```
आयाम: केंद्रीय स्थिति से विस्थापन।

स्प्रिंग-मास प्रणाली

एक अन्य क्लासिकल प्रणाली जो सरल आवर्त गति को प्रदर्शित करती है, वह स्प्रिंग-मास प्रणाली है। इस प्रणाली में एक द्रव्यमान होता है, जो एक स्प्रिंग से जुड़ा होता है और आगे-पीछे दोलन कर सकता है।

स्प्रिंग-मास प्रणाली के घटक

द्रव्यमान: स्प्रिंग के अंत में स्थित वस्तु।
स्प्रिंग: एक लचीला वस्तु जो संकुचित या खींची जा सकती है।

स्प्रिंग-मास SHM की गणित

स्प्रिंग द्वारा लगाई गई शक्ति हुक के नियम के अनुसार दी जाती है, जो यह बताती है कि स्प्रिंग द्वारा लगाई गई शक्ति उस दूरी के समानुपाती होती है, जिससे उसे उसकी विश्रांति स्थिति से संकुचित या खींचा जाता है:

[F = -kx]

जहाँ:

(F) स्प्रिंग द्वारा लगाई गई शक्ति है।
(k) स्प्रिंग स्थिरांक है, जो स्प्रिंग की कठोरता को मापता है।
(x) स्प्रिंग का उसके संतुलन स्थिति से विस्थापन है।

स्प्रिंग से जुड़ी हुई वस्त्र का गति समीकरण के अनुसार न्यूटन का द्वितीय नियम:

[ma = -kx]

जहाँ (a) (त्वरण) समय के सापेक्ष विस्थापन का द्वितीय अवकलन है, इसलिए

[mfrac{d^2x}{dt^2} = -kx]

पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें मिलता है:

[frac{d^2x}{dt^2} + frac{k}{m}x = 0]

सामान्य समाधान होता है यह:

[x(t) = A cosleft(omega t + phiright)]

जहाँ:

(A) आयाम है, विस्थापन की अधिकतम सीमा।
(omega = sqrt{frac{k}{m}}) कोणीय आवृत्ति है।
(phi) चरणात्मक स्थिरांक है, जो प्रारंभिक स्थितियों द्वारा निर्धारित होता है।

स्प्रिंग-मास प्रणाली की गति की विशेषताएँ

अवधि ( T ): अवधि दी जाती है:
```
[T = 2pi sqrt{frac{m}{k}}]
```
आवृत्ति ( f ): आवृत्ति होती है:
```
[f = frac{1}{T} = frac{1}{2pi} sqrt{frac{k}{m}}]
```
आयाम: संतुलन से अधिकतम विस्थापन।