振り子とバネ‐質量系

物理学において、波と振動の研究は多くの現象の基礎原理を理解するために基本的です。この研究の重要な部分は単振動、略してSHMです。SHMは、物体に働く力がその平衡位置からの変位に比例し、その平衡に向かって働く振動運動の種類を記述します。SHMを示す最も説得力のある2つのシステムは、振り子とバネ‐質量系です。

単振り子

単振り子は、重力の影響下で前後に揺れる長さ(L)の糸に接続された質量、いわゆるビームで構成されます。これは、揺れの角度が小さいときのSHMの古典的な例です。

振り子の構成要素

ビーム: 振り子の端にある質量。
糸: 長さ ( L )、重さがなく剛性と考えられる。
ピボットポイント: 振り子が揺れる固定点。

振り子のSHMの数学

振り子が静止位置から変位すると、重力による復元力がかかります。この力はそれを平衡位置に戻します。小角度（約15度未満）では、この力は変位に比例していると見なすことができ、単純調和振動子になります。

振り子の運動方程式は次のように与えられます：

[theta''(t) + frac{g}{L} sin(theta(t)) = 0]

小角度の場合、( sin(theta) approx theta ) となり、方程式は次のように簡略化されます：

[theta''(t) + frac{g}{L} theta(t) = 0]

この微分方程式の解は：

[theta(t) = theta_0 cosleft(sqrt{frac{g}{L}} t + phiright)]

ここで：

(theta_0) は最大変位角。
(g) は重力加速度。
(phi) は初期条件によって決まる位相定数。

単振り子運動の特性

周期 (T): 単振り子の周期は、その運動の1つの完全な周期を完了するのにかかる時間です。これは次のように与えられます：
```
[T = 2pi sqrt{frac{L}{g}}]
```
周期はビームの質量や運動の振幅（小角度の場合）には無関係であることに注意してください。
周波数 ( f ): 周波数は周期の逆数です：
```
[f = frac{1}{T} = frac{1}{2pi} sqrt{frac{g}{L}}]
```
振幅: 中心位置からの変位。

バネ‐質量系

単純調和運動を示すもう一つの古典的システムはバネ‐質量系です。このシステムはバネに取り付けられた質量から成り立ち、前後に振動することができます。

バネ‐質量系の構成要素

質量: バネの終端にある物体。
バネ: 圧縮または伸びることができる弾性体。

バネ‐質量SHMの数学

バネが発揮する力はフックの法則によって与えられます。この法則は、バネが発揮する力がその静止位置から伸びたまたは圧縮した距離に比例することを示しています：

[F = -kx]

ここで：

(F) はバネが発揮する力。
(k) はバネ定数で、バネの剛性を示します。
(x) はバネの平衡位置からの変位です。

バネに取り付けられた質量の運動方程式はニュートンの第二法則によって示されます：

[ma = -kx]

ここで (a) （加速度）は時間に関する変位の二階微分であるため、

[mfrac{d^2x}{dt^2} = -kx]

整理すると次のようになります：

[frac{d^2x}{dt^2} + frac{k}{m}x = 0]

一般解は次のようになります：

[x(t) = A cosleft(omega t + phiright)]

ここで：

(A) は振幅で、最大の変位の範囲。
(omega = sqrt{frac{k}{m}}) は角周波数です。
(phi) は初期条件によって決まる位相定数。

バネ‐質量系の運動の特徴

周期 ( T ): 周期は次のように与えられます：
```
[T = 2pi sqrt{frac{m}{k}}]
```

周波数 ( f ): 周波数は：

[f = frac{1}{T} = frac{1}{2pi} sqrt{frac{k}{m}}]

振幅: 平衡からの最大変位。