单摆和弹簧-质量系统

在物理学中，波和振荡的研究对于理解许多现象的基本原理是至关重要的。这项研究的一个重要部分是简单谐振动，简称SHM。SHM描述了一种振荡运动，其中作用在物体上的力与其从平衡位置的位移成正比，并指向该平衡。展示SHM的两个最引人注目的系统是单摆和弹簧-质量系统。

简单单摆

一个简单的单摆由一个质量（称为摆球）组成，连接在一个长度为(L)的绳子上，在重力的作用下来回摆动。当摇摆的角度较小时，这是一个经典的SHM示例。

单摆的组成部分

摆球：单摆末端的一个质量。
绳子：长度(L)，被视为无重量且刚性的。
支点：单摆摆动的固定点。

单摆SHM的数学

当单摆从其静止位置被移开时，由于重力的作用会产生一个恢复力。这种力将其带回平衡位置。在小角度（小于约15度）下，这种力可视为与位移成正比，从而形成一个简单的谐振子。

单摆的运动方程为：

[theta''(t) + frac{g}{L} sin(theta(t)) = 0]

对于小角度，( sin(theta) approx theta )，方程简化为：

[theta''(t) + frac{g}{L} theta(t) = 0]

这个微分方程的解为：

[theta(t) = theta_0 cosleft(sqrt{frac{g}{L}} t + phiright)]

其中：

(theta_0)是最大位移角度。
(g)是重力加速度。
(phi)是相位常数，由初始条件决定。

简单单摆运动的特征

周期 (T)：简单单摆的周期是完成其运动全周期所需的时间。其公式为：
```
[T = 2pi sqrt{frac{L}{g}}]
```
注意，周期与摆球的质量和运动的振幅（对于小角度）无关。

频率 ( f )：频率是周期的倒数：

[f = frac{1}{T} = frac{1}{2pi} sqrt{frac{g}{L}}]

振幅：从中心位置的位移。

弹簧-质量系统

另一种表现简单谐振动的经典系统是弹簧-质量系统。此系统由一个附着在可来回振荡的弹簧上的质量组成。

弹簧-质量系统的组成部分

质量：弹簧末端的物体。
弹簧：可压缩或拉伸的弹性物体。

弹簧-质量SHM的数学

弹簧施加的力由胡克定律给出，该定律指出，弹簧施加的力与其从静止位置拉伸或压缩的距离成正比：

[F = -kx]

其中：

(F)是弹簧施加的力。
(k)是弹簧常数，测量弹簧刚度。
(x)是弹簧从平衡位置的位移。

附着在弹簧上的质量的运动方程由牛顿第二定律给出：

[ma = -kx]

其中(a)（加速度）是位移相对于时间的二阶导数，所以

[mfrac{d^2x}{dt^2} = -kx]

重新排列得：

[frac{d^2x}{dt^2} + frac{k}{m}x = 0]

一般解为：

[x(t) = A cosleft(omega t + phiright)]

其中：

(A)是振幅，是位移的最大程度。
(omega = sqrt{frac{k}{m}})是角频率。
(phi)是相位常数，由初始条件决定。

弹簧-质量系统运动的特征

周期 ( T )：周期由下式给出：
```
[T = 2pi sqrt{frac{m}{k}}]
```

频率 ( f )：频率为：

[f = frac{1}{T} = frac{1}{2pi} sqrt{frac{k}{m}}]

振幅：从平衡位置的最大位移。