トルクと角運動量

古典力学において、回転運動を研究する際にはトルクと角運動量の概念を理解することが重要です。これらは線形運動の力と運動量の回転アナログであり、物体が回転する際にどのように振る舞うかの洞察を提供します。このレッスンでは、簡単な説明、方程式、および例を用いてこれらの概念を詳しく探求します。目標は、大学の物理学の学生に包括的な理解を提供することです。

トルクとは何か？

トルク、または力のモーメントとも呼ばれるものは、力が物体を軸の周りに回転させる傾向の測定です。物体の線形速度を変えるためには力が必要であるように、物体の角速度を変えるにはトルクが必要です。トルクの大きさは、力の大きさ、支点からの距離（レバーアームまたはモーメントアーム）、および力が加えられる角度の3つの要因に依存します。

τ = r × F = rFsin(θ)

この方程式では：

τ はトルクです。
r は回転軸から力が加えられる点までの距離です。
F は力の大きさです。
θ は位置ベクトルと力の方向の間の角度です。

視覚例：トルク

トルクの概念はドアを考えることで理解できます。ドアを開けるために、ヒンジから一定の距離で力を加えます。θ が90度であるとき、すなわちドアの表面に垂直に押すとき、加えるトルクは最大になります。

トルクを実際に計算する

トルクの実用性を理解するために、別の例を見てみましょう。ナットを回転させるレンチを考えます。レンチに加えられる力はその長さに沿って向けられ、レンチを持つ位置が遠くなるほどトルクが大きくなります。支点から0.3mの距離で10Nの力を加えると、トルクは次のようになります：

τ = rF = 0.3 m × 10 N = 3 N·m

角運動量とは何か？

角運動量は物体の回転量を表すベクトル量であり、物理学において重要な基本的量です。点質量の場合、それは位置ベクトルと速度の外積として定義されます。多くの点で、角運動量は線形運動量に似ています。線形運動量が線形運動の量を測定するのと同様に、角運動量は回転運動の量を測定します。

L = r × p = r × mv

この方程式では：

L は角運動量です。
r は回転軸から点質量までの位置ベクトルです。
p は点質量の線形運動量です。
m は物体の質量です。
v は物体の線形速度です。

視覚例：角運動量

回転するホイールを想像してみてください。ホイールの質量は軸から一定の半径で分布しており、何らかの初期力またはトルクのおかげで回転すると、角運動量を持ちます。外部トルクが作用しなければ、その角運動量は一定のままです。

角運動量保存の法則

システムに外部トルクが作用しない場合、その角運動量は一定のままです。これは角運動量保存の法則として知られています。この原理は日常生活や自然界の多くの現象を説明します。例えば、フィギュアスケート選手が腕を引き寄せるとき、彼女は速く回転します。腕を引き寄せると、慣性モーメントが減少し、角速度が増加します。

保存の例

腕を広げてスピンしているスケーターを考えてみましょう。I_i を初期慣性モーメント、ω_i を初期角速度とします。角運動量保存により：

L_i = L_f I_i ω_i = I_f ω_f

ここで、I_f と ω_f は腕が引き戻されたときの最終的な慣性モーメントと角速度です。