力矩与角动量

在经典力学中，研究旋转运动时理解力矩和角动量的概念非常重要。它们是线性运动中力和动量的旋转类似物，并为理解物体如何旋转提供了见解。在本课程中，我们将通过简单的解释、公式和示例深入探讨这些概念。目标是为本科物理学学生提供全面的理解。

什么是力矩？

力矩，也称为力矩矩，是衡量力使物体绕轴旋转趋势的指标。正如改变物体线速度需要力一样，改变物体角速度需要力矩。力矩的大小取决于三个因素：力的大小、从支点到施力点的距离（杠杆臂或力矩臂）、以及施力的角度。

τ = r × F = rFsin(θ)

在这个公式中：

τ 是力矩。
r 是从旋转轴到施力点的距离。
F 是力的大小。
θ 是位置矢量与力的方向之间的角度。

视觉示例：力矩

可以通过考虑一扇门来理解力矩的概念。要打开门，您需要在离铰链一定距离的地方施加力。当您垂直于门表面施力时，所施加的力矩最大，这时 θ 等于 90 度，使得 sin(θ) 达到最大。

实际计算力矩

为了理解力矩的实用性，让我们看另一个例子。考虑一个用扳手拧紧螺母的情况。施加在扳手上的力沿其长度方向施加，且离得越远，力矩越大，因为垂直距离 r 增加。如果你在离支点 0.3 米的地方施加 10 牛的力，力矩为：

τ = rF = 0.3 m × 10 N = 3 N·m

什么是角动量？

角动量是一个矢量量，表示物体的旋转量，是物理学中的一个重要的基本量。对于点质量，它被定义为位置矢量与速度的叉积。角动量在许多方面类似于线动量。正如线动量测量线性运动的量，角动量测量旋转运动的量。

L = r × p = r × mv

在这个公式中：

L 是角动量。
r 是从旋转轴到点质量的位矢。
p 是点质量的线动量。
m 是物体的质量。
v 是物体的线速度。

视觉示例：角动量

想象一个旋转的轮子。轮子的质量分布在离轴固定的半径处；由于一些初始力或力矩的作用，它获得了角动量。如果没有外力矩作用在它上面，它的角动量保持不变。

角动量的守恒

如果没有外力矩作用在系统上，则其角动量保持恒定。这被称为角动量守恒。这一原理解释了生活和自然中的许多现象。例如，当花样滑冰运动员收拢她的手臂时，他们的旋转速度加快。随着手臂的收拢，它们的转动惯量减少，而角速度增加。

守恒的例子

考虑一个手臂伸开旋转的滑冰者。设定 I_i 为初始转动惯量，ω_i 为初始角速度。通过角动量守恒：

L_i = L_f I_i ω_i = I_f ω_f

其中 I_f 和 ω_f 是手臂收拢时的最终转动惯量和角速度。