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घूर्णन गतिशास्त्र
घूर्णन गतिकी भौतिकी की एक शाखा है जो बिंदुओं, वस्तुओं और वस्तुओं की प्रणालियों की गति का वर्णन करती है, बिना उन बलों पर विचार किए जो उन्हें गति में लाते हैं। यह रैखिक गतिकी का घूर्णन समकक्ष है। इस क्षेत्र में, हम मुख्य रूप से कोणीय विस्थापन, कोणीय वेग, और कोणीय त्वरण से निपटते हैं। ये अवधारणाएं ग्रह की घूर्णन से लेकर पहिये की घूर्णन तक हर चीज को समझने के लिए आवश्यक हैं।
मूल अवधारणाएँ
कोणीय विस्थापन
रैखिक गति में, विस्थापन का अर्थ स्थिति में बदलाव होता है। इसी प्रकार, घूर्णन गति में, कोणीय विस्थापन का अर्थ है एक वस्तु का एक विशेष धुरी के चारों ओर किस कोण तक घूमना। इसे आमतौर पर θ (थीटा) के प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है।
कोणीय विस्थापन को रेडियन में मापा जाता है, हालांकि डिग्री का कभी-कभी उपयोग किया जाता है। एक पूर्ण घूर्णन 2π रेडियन या 360 डिग्री के बराबर होता है।
उदाहरण:
एक टर्नटेबल को उसके धुरी पर घूमता हुआ मानिए। यदि यह शून्य डिग्री से शुरू होता है और 90 डिग्री घूमता है, तो कोणीय विस्थापन होता है:
θ = 90° = π/2 रेडियन
दृश्य उदाहरण:
कोणीय वेग
कोणीय वेग कोणीय विस्थापन के परिवर्तन की दर को दर्शाता है। यह एक सदिश राशि है, जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होती हैं, हालांकि सामान्य मामलों में हम केवल इसके परिमाण पर विचार करते हैं। इसे ω (ओमेगा) द्वारा दर्शाया जाता है।
ω = θ / T
जहां θ कोणीय विस्थापन है और t समय.
उदाहरण:
यदि एक पहिया 2 सेकंड में π रेडियन घूमता है, तो कोणीय वेग है:
ω = π / 2 रेडियन/सेकंड
दृश्य उदाहरण:
कोणीय त्वरण
कोणीय त्वरण समय के सापेक्ष कोणीय वेग के परिवर्तन की दर है। रैखिक त्वरण के समान, यह हमें बताता है कि कोई वस्तु अपनी घूर्णन को कितनी तेजी से बढ़ा या घटा रही है। इसे अक्सर α (अल्फा) द्वारा दर्शाया जाता है।
α = Δω / Δt
जहां Δω कोणीय वेग में परिवर्तन है और Δt समय में परिवर्तन है।
उदाहरण:
यदि एक घूमने वाली चोटी का कोणीय वेग 4 सेकंड में 0 रेड/से से 2π रेड/से में बढ़ता है, तो कोणीय त्वरण है:
α = (2π - 0) / 4 = π/2 रेडियन/सेकंड²
दृश्य उदाहरण:
घूर्णन गति के समीकरण
जिस तरह रैखिक प्रणालियों के गति के समीकरण होते हैं, उसी तरह घूर्णन प्रणालियों के समानुपाती समीकरण भी होते हैं। ये समीकरण कोणीय विस्थापन, कोणीय वेग, कोणीय त्वरण, और समय से संबंधित होते हैं।
पहला गति समीकरण
यह समीकरण तब उपयोगी होता है जब कोणीय विस्थापन को निर्धारित करना हो लेकिन त्वरण शून्य न हो:
ω = ω₀ + αt
जहां ω₀ आरंभिक कोणीय वेग होता है।
दूसरा गति समीकरण
कोणीय विस्थापन को खोजने के लिए हम इस समीकरण का उपयोग करते हैं:
θ = ω₀t + 0.5*αt²
तीसरा गति समीकरण
यह समीकरण समय पर विचार किए बिना अंतिम कोणीय वेग को खोजने की अनुमति देता है:
ω² = ω₀² + 2αθ
घूर्णन गतिकी के अनुप्रयोग
उदाहरण समस्याएँ
समस्या 1: एक पहिया विराम से शुरू होता है और कोणीय त्वरण के साथ तेज होता है
α = 2 रेडियन/सेकंड²
3 सेकंड के बाद इसका कोणीय वेग क्या है?
समाधान:
पहला गति समीकरण का उपयोग करते हुए:
ω = ω₀ + αt
दी गई
ω₀ = 0 रेड/से, α = 2 रेड/से², t = 3 से
इस प्रकार,
ω = 0 + 2 * 3 = 6 रेडियन/सेकंड
समस्या 2: एक पंखा बंद कर दिया जाता है, और इसे रुकने में 10 सेकंड लगते हैं। यदि पंखे का प्रारंभिक कोणीय वेग है
25 रेड/से
तो कोणीय त्वरण ज्ञात कीजिए।
समाधान:
ω = ω₀ + αt
यहाँ,
0 = 25 + α * 10
α के लिए हल करें:
α = -25 / 10 = -2.5 रेडियन/सेकंड²
रैखिक और घूर्णन राशियों को जोड़ना
यह जानना महत्वपूर्ण है कि अनुप्रयुक्त अनुप्रयोगों जैसे पहियों और गियर्स के साथ काम करते समय घूर्णन और रैखिक राशियाँ कैसे संबंधित होती हैं।
रैखिक विस्थापन s और कोणीय विस्थापन θ :
s = rθ
जहां r वृत्त की त्रिज्या है।
रैखिक वेग v और कोणीय वेग ω :
v = rω
रैखिक त्वरण a और कोणीय त्वरण α :
a = rα
उदाहरण:
0.5 मी का त्रिज्या वाला एक साइकिल पहिया 4 रेडियन/सेकंड के कोणीय वेग पर आगे घूमता है। रैखिक वेग क्या है?
v = rω = 0.5 * 4 = 2 मी/से
सारांश और निष्कर्ष
घूर्णन गतिकी को समझना उन प्रणालियों का अध्ययन करते समय महत्वपूर्ण होता है जिनमें घूर्णन शामिल होता है। चाहे वह तारों के चारों ओर घूमते ग्रह हों, वाहनों पर घूमते पहिये हों, या चक्रित होते परमाणु हों, कोणीय विस्थापन, वेग, और त्वरण के सिद्धांत सुसंगत रहते हैं। इन मौलिक अवधारणाओं में महारत हासिल करके, आप भौतिकी और इंजीनियरिंग के कई क्षेत्रों में घूर्णन वस्तुओं की गति का विश्लेषण और भविष्यवाणी कर सकते हैं, जो उन्हें शैक्षणिक और व्यावहारिक अनुप्रयोगों में अमूल्य बनाता है।
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