घूर्णन गति

घूर्णन गति शास्त्रिय यांत्रिकी में एक मौलिक अवधारणा है जो वस्तुओं या प्रणालियों के गति को दर्शाती है जो मध्य अक्ष के चारों ओर घूर्णन करती हैं। जबकि रेखीय गति उन वस्तुओं की गति से संबंधित होती है जो एक सीधी रेखा में पथ के साथ चलती हैं, घूर्णन गति में वे वस्तुएँ शामिल होती हैं जो घूमती या घूमती हैं।

घूर्णन गति को समझना तब आवश्यक होता है जब विभिन्न प्रणालियों का विश्लेषण किया जाता है, जैसे कि घूमने वाले शीर्ष और गियर से लेकर ग्रहों और तारों के घूमने तक। कई प्रमुख अवधारणाएँ और समीकरण घूर्णन गति का वर्णन करते हैं, जो रेखीय गति का वर्णन करने वाले समीकरणों के समान होते हैं, लेकिन विभिन्न चरों के साथ।

कोणीय विस्थापन, वेग और त्वरण

रेखीय विस्थापन, वेग और त्वरण के समान, घूर्णन गति में कोणीय विस्थापन, कोणीय वेग और कोणीय त्वरण शामिल होते हैं।

कोणीय विस्थापन वह कोण है जिसके माध्यम से एक बिंदु या रेखा को एक निर्दिष्ट अक्ष के चारों ओर एक निर्दिष्ट दिशा में घुमाया गया है। इसे रेडियन में मापा जाता है।

Δθ = θ_f - θ_i

जहां Δθ कोणीय विस्थापन है, θ_f अंतिम कोणीय स्थिति है, और θ_i प्रारंभिक कोणीय स्थिति है।

कोणीय वेग (ω) वह दर है जिस पर कोई वस्तु घूमती है। यह समय के साथ कोणीय विस्थापन में परिवर्तन द्वारा वर्णित किया गया है और इसे रेडियन प्रति सेकंड (rad/s) में मापा जाता है।

ω = Δθ / Δt

जहां ω कोणीय वेग है, Δθ कोणीय विस्थापन है, और Δt समय अंतराल है।

कोणीय त्वरण (α) बताता है कि कोणीय वेग समय के साथ कितनी जल्दी बदलता है। इसे रेडियन प्रति सेकंड वर्ग (rad/s²) में मापा जाता है।

α = Δω / Δt

जहां α कोणीय त्वरण है, Δω कोणीय वेग में परिवर्तन है, और Δt समय अंतराल है।

घूर्णन गति का दृश्य लेखन

एक घूर्णन पहिया की कल्पना करें। पहिये का एक केंद्रीय अक्ष होता है और यह उसके चारों ओर घूर्णन करता है। इन अवधारणाओं को और समझने के लिए, निम्नलिखित चित्र पर विचार करें:

इस प्रस्तुति में, काली रेखाएं पहिये पर एक बिंदु की संदर्भ और वर्तमान कोणीय स्थिति का प्रतिनिधित्व करती हैं, और लाल रेखा कोणीय विस्थापन, Δθ का प्रतिनिधित्व करती है।

घूर्णन गति के समीकरण

घूर्णन गति का वर्णन करने वाले समीकरण रेखीय गति के समीकरणों के समान रूप होते हैं। हालाँकि, वे एक कोणीय समागम का उपयोग करते हैं।

• अंतिम कोणीय वेग: ω_f = ω_i + αt
• कोणीय विस्थापन: θ = ω_i t + 0.5αt^2
• अंतिम कोणीय वेग का वर्ग: ω_f^2 = ω_i^2 + 2αθ

इन सूत्रों में, ω_i प्रारंभिक कोणीय वेग है, ω_f अंतिम कोणीय वेग है, α कोणीय त्वरण है, और θ कोणीय विस्थापन है।

जड़त्व आघूर्ण

जड़त्व आघूर्ण, जिसे I के रूप में जाना जाता है, किसी वस्तु की उसकी घूर्णन गति में परिवर्तन के प्रति प्रतिरोध माप है। यह घूर्णन के अक्ष के सापेक्ष वस्तु के द्रव्यमान वितरण पर निर्भर करता है।

बिंदु द्रव्यमान के लिए सरल समीकरण है:

I = mr²

जहां m वस्तु का द्रव्यमान है और r घूर्णन के अक्ष से द्रव्यमान की दूरी है।

अधिक जटिल वस्तुओं के लिए, जड़त्व आघूर्ण सभी द्रव्यमान तत्वों के योग या एकीकरण की आवश्यकता होती है:

I = Σ(m_i r_i²)

या, किसी सदाबहार वस्तु के लिए:

I = ∫ r² dm

घुमाव

घुमाव बल का घूर्णन समागम है। यह मापता है कि किसी वस्तु पर लागू बल उसे कितनी अधिक घूमाता है।

τ = r × F

जहां τ घुमाव है, r घूर्णन के अक्ष से उस बिंदु तक स्थिति वेक्टर है जहां बल लागू होता है, और F बल वेक्टर है। क्रॉस प्रोडक्ट इंगित करता है कि घुमाव बल की दिशा और परिमाण दोनों पर निर्भर करता है, साथ ही अक्ष से दूरी पर भी।

घूर्णन गति के लिए न्यूटन का दूसरा नियम

रेखीय गति के समान, घूर्णन गति के लिए न्यूटन के दूसरे नियम का एक रूप है। यह बताता है कि किसी वस्तु पर लगा शुद्ध घुमाव उसके जड़त्व आघूर्ण और कोणीय त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है।

Στ = Iα

उदाहरण समस्याएँ

घूर्णन गति समस्याओं को हल करने का व्यावहारिक उदाहरण देने के लिए आइए कुछ व्यावहारिक उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1: घूर्णन डिस्क

0.5 मीटर त्रिज्या और 2 किलोग्राम द्रव्यमान का एक डिस्क प्रारंभ में विश्राम पर है। इसकी किनारे पर 10 न्यूटन का बल स्पर्शक्र में लगाया जाता है। कोणीय त्वरण ज्ञात करें।

ठोस डिस्क के लिए सूत्र का उपयोग करके डिस्क का जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें:

I = 0.5 * m * r²

I = 0.5 * 2 kg * (0.5 m)² = 0.25 kg·m²

घुमाव सूत्र लागू करें:

τ = r × F = 0.5 m × 10 N = 5 N·m

घूर्णन के लिए न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करें:

Στ = Iα => 5 N·m = 0.25 kg·m² * α

α = 5 N·m / 0.25 kg·m² = 20 rad/s²

उदाहरण 2: घूर्णन छड़

1 मीटर लंबाई और 3 किलोग्राम द्रव्यमान की एक पतली छड़ एक छोर पर स्थिर है और घूर्णन के लिए स्वतंत्र है। छड़ के केंद्र पर लंबवत 15 न्यूटन का बल लगाया जाता है। कोणीय त्वरण ज्ञात करें।

एक छोर पर धुरी के बारे में जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें:

I = (1/3) * m * L²

I = (1/3) * 3 kg * (1 m)² = 1 kg·m²

घुमाव ज्ञात करें:

τ = r × F = 0.5 m × 15 N = 7.5 N·m

न्यूटन का दूसरा नियम लागू करें:

Στ = Iα => 7.5 N·m = 1 kg·m² * α

α = 7.5 rad/s²

निष्कर्ष

घूर्णन गति कई भौतिक घटनाओं और इंजीनियरिंग प्रणालियों को समझने में महत्त्वपूर्ण है। कोणीय वेग, कोणीय त्वरण, घुमाव, और जड़त्व आघूर्ण जैसी प्रमुख अवधारणाओं को जानकर, आप जटिल घूर्णन व्यवहारों का विश्लेषण और भविष्यवाणी कर सकते हैं।

घूर्णन गति की निरंतर खोज न केवल शास्त्रिय यांत्रिकी सिद्धांतों की समझ को समृद्ध करेगी, बल्कि व्यावहारिक अनुप्रयोगों जैसे मशीनरी डिज़ाइन और खगोल भौतिकी में भी प्रगति का नेतृत्व करेगी।

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