Pregrado
  1. Mecánica clásica  1.1. dinámica  1.1.1. Movimiento en una dimensión  1.1.2. Movimiento en dos dimensiones  1.1.3. projectile motion  1.1.4. Velocidad relativa  1.1.5. Movimiento circular uniforme  1.1.6. Movimiento circular no uniforme  1.1.7. Sistemas de referencia y transformaciones  1.2. Newton's Laws of Motion  1.2.1. Primera ley del movimiento  1.2.2. Segunda ley del movimiento  1.2.3. Tercera Ley del Movimiento  1.2.4. Aplicaciones de las leyes de Newton  1.2.5. Fricción y sus tipos  1.2.6. Diagrama de Cuerpo Libre  1.2.7. Restricciones y pseudo-fuerzas  1.3. Trabajo y energía  1.3.1. Trabajo realizado por la fuerza  1.3.2. Teorema trabajo-energía  1.3.3. Energía cinética  1.3.4. Energía potencial en la mecánica clásica  1.3.5. Fuerzas conservativas y no conservativas  1.3.6. Conservación de la Energía  1.3.7. Poder y eficiencia  1.4. Velocidad y colisiones  1.4.1. Momento lineal  1.4.2. Conservación del momento  1.4.3. Impulso y fuerza de impacto  1.4.4. Colisión elástica e inelástica  1.4.5. Centro de masa y velocidad  1.4.6. Propulsión de Cohetes  1.5. Movimiento rotacional  1.5.1. Torque y Momento Angular  1.5.2. Momento de inercia  1.5.3. Cinemática Rotacional  1.5.4. Energía Rotacional  1.5.5. Movimiento de rodadura  1.5.6. Precesión y movimiento giroscópico  1.6. Fuerza gravitacional  1.6.1. La ley de la gravitación universal de Newton  1.6.2. Energía potencial gravitatoria  1.6.3. Mecánica orbital  1.6.4. Leyes del movimiento planetario de Kepler  1.6.5. Campo y potencial gravitatorio  1.7. Mecánica de fluidos  1.7.1. Presión y el Principio de Pascal  1.7.2. Flotabilidad y el principio de Arquímedes  1.7.3. Dinámica de Fluidos y el Principio de Bernoulli  1.7.4. Viscosidad y la ley de Poiseuille  1.7.5. Tensión superficial y capilaridad  1.8. Oscilaciones y ondas  1.8.1. Movimiento Armónico Simple  1.8.2. Oscilaciones amortiguadas y forzadas  1.8.3. Oscilaciones acopladas y modos comunes  1.8.4. Propiedades y tipos de ondas  1.8.5. Ondas Sonoras y el Efecto Doppler  1.8.6. Interferencia de ondas y superposición
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrostática  2.1.1. Carga eléctrica y propiedades  2.1.2. Ley de Coulomb  2.1.3. Electric field and electric potential  2.1.4. La Ley de Gauss  2.1.5. Capacitancia y Dieléctrico  2.1.6. Dipolo eléctrico y energía potencial  2.2. Circuitos eléctricos  2.2.1. Corriente y Resistencia  2.2.2. Ley de Ohm  2.2.3. Leyes de Kirchhoff  2.2.4. Circuito RC  2.2.5. Circuitos de CA y Reactancia  2.2.6. Electricidad y energía eléctrica  2.3. Magnetismo  2.3.1. Campos y Fuerzas Magnéticas  2.3.2. La Ley de Ampere  2.3.3. Momento dipolar magnético  2.3.4. Ley de Biot-Savart  2.3.5. Materiales Magnéticos y Histeresis  2.4. Inducción electromagnética  2.4.1. Ley de Faraday  2.4.2. La ley de Lenz  2.4.3. Autoinducción y mutua inducción  2.4.4. Transformadores y Circuitos Inductivos  2.5. Ecuaciones de Maxwell  2.5.1. La ley de Gauss para la electricidad  2.5.2. Ley de Gauss para el magnetismo  2.5.3. La ley de inducción de Faraday  2.5.4. Ley de Ampere-Maxwell  2.5.5. Ondas electromagnéticas
  3. Termodinámica  3.1. Leyes de la Termodinámica  3.1.1. Ley cero de la termodinámica  3.1.2. Primera ley de la termodinámica  3.1.3. Segunda Ley  3.1.4. Tercera Ley  3.2. Calor y trabajo  3.2.1. Transferencia de calor (conducción, convección, radiación)  3.2.2. Expansión térmica  3.2.3. Motores térmicos y refrigeradores  3.2.4. Ciclo de Carnot y eficiencia  3.3. Mecánica estadística  3.3.1. Distribución de Maxwell–Boltzmann  3.3.2. Entropía y Probabilidad  3.3.3. Función de partición  3.3.4. Estadísticas de Fermi–Dirac y Bose–Einstein
  4. Óptica  4.1. Óptica Geométrica  4.1.1. Reflexión y refracción  4.1.2. Espejos y lentes  4.1.3. Instrumentos Ópticos  4.1.4. El principio de Fermat  4.2. Óptica de ondas  4.2.1. Interferencia en la óptica de ondas  4.2.2. Difracción  4.2.3. Polarización  4.2.4. Coherencia y holografía
  5. Mecánica cuántica  5.1. Dualidad onda-partícula  5.1.1. Radiación de cuerpo negro en la dualidad onda-partícula en la mecánica cuántica  5.1.2. Efecto fotoeléctrico  5.1.3. Dispersión Compton  5.1.4. Longitud de onda de De Broglie  5.2. Ecuación de Schrödinger  5.2.1. Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo  5.2.2. Partícula en una caja  5.2.3. Efecto túnel cuántico  5.2.4. Pozos de potencial y obstáculos  5.3. Estados Cuánticos  5.3.1. Función de onda  5.3.2. Operadores cuánticos  5.3.3. Principio de incertidumbre de Heisenberg  5.3.4. Momento angular y espín
  6. Relatividad  6.1. Relatividad especial  6.1.1. Transformaciones de Lorentz  6.1.2. Expansión del tiempo y contracción de la longitud  6.1.3. Energía y momento relativista  6.2. Relatividad general  6.2.1. Principio de Equivalencia  6.2.2. Métrica de Schwarzschild  6.2.3. Ondas gravitacionales  6.2.4. Agujeros negros y horizontes de eventos
  7. Física del estado sólido  7.1. Estructura cristalina  7.1.1. Redes de Bravais  7.1.2. Difracción de rayos X  7.1.3. Teoría de bandas  7.1.4. Fonones y vibraciones de red  7.2. Propiedades Eléctricas y Magnéticas  7.2.1. Conductores, Semiconductores e Aislantes  7.2.2. Superconductividad  7.2.3. Efecto Hall
  8. Física nuclear y de partículas  8.1. Estructura Atómica  8.1.1. Modelo Atómico  8.1.2. Energía de enlace nuclear  8.2. Radiactividad  8.2.1. Desintegración alfa, beta, gamma  8.2.2. Vida media  8.2.3. Fisión y Fusión Nuclear  8.3. Física de partículas  8.3.1. Modelo Estándar  8.3.2. Quarks y Leptones  8.3.3. antimateria  8.3.4. Interacciones fundamentales
  9. Astrofísica y cosmología  9.1. Evolución estelar  9.1.1. Formación estelar  9.1.2. Agujeros negros y estrellas de neutrones  9.1.3. Enanas blancas y supernovas  9.2. Cosmología  9.2.1. La Teoría del Big Bang  9.2.2. Materia oscura y energía oscura  9.2.3. Fondo cósmico de microondas

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Oscilaciones acopladas y modos comunes


Cuando dos o más sistemas oscilatorios interactúan entre sí, pueden exhibir un comportamiento interesante y complejo. Esta interacción se llama acoplamiento. Una comprensión clara de las oscilaciones acopladas es importante porque subyace a una variedad de fenómenos observados en la física clásica y cuántica, así como en muchas aplicaciones tecnológicas.

Conceptos básicos

Consideremos dos péndulos de la misma longitud, conectados por un resorte. Si desplazas un péndulo y lo sueltas, verás que después de un tiempo, el momento se transfiere casi por completo al otro péndulo. Esta es una demostración clásica de oscilaciones acopladas.

Soporte fijo Resorte

Análisis matemático de las oscilaciones acopladas

Consideremos dos osciladores acoplados con masas iguales m y constante de resorte k, conectados por un resorte adicional con constante de resorte k_c. Las ecuaciones de movimiento para los desplazamientos x1 y x2 desde el equilibrio se pueden escribir como:

m(d²x1/dt²) = -kx1 + kc(x2 - x1) m(d²x2/dt²) = -kx2 + kc(x1 - x2)

En forma matricial, estas ecuaciones se convierten en:

m(d²X/dt²) = -KX

donde X es el vector de desplazamientos y K es la matriz de constantes de resorte:

X = | x1 | | x2 | K = | k + kc -kc | | -kc k + kc |

Modo normal

El modo normal de un sistema oscilatorio acoplado es un patrón de movimiento en el cual todas las partes del sistema oscilan sinusoidalmente con la misma frecuencia y mantienen amplitudes relativas fijas. Encontrar el modo normal de un sistema implica resolver el problema de valores propios:

(K - mω²I)A = 0

donde ω es la frecuencia angular, I es la matriz identidad, y A es el vector de amplitudes. Las soluciones a este problema dan las frecuencias permitidas (valores propios) y las formas de los modos correspondientes (vectores propios).

Cálculo de ejemplo

Supongamos que la masa de ambos péndulos es 1 kg, la constante de resorte es 50 N/m, y la constante de acoplamiento de resorte es 10 N/m:

K = | 60 -10 | | -10 60 |

La ecuación de valores propios se convierte en:

| 60 - mω² -10 | | A1 | = 0 | -10 60 - mω² | | A2 |

Al resolver esto para soluciones no triviales, obtenemos:

(60 - mω²)² - 100 = 0

Al resolver la ecuación cuadrática, obtenemos dos frecuencias de modo común.

Visualización del modo normal

Para las frecuencias de modo normal calculadas, podemos ver sus formas de modo correspondientes:

1 2 Modo 1: En fase 1 2 Modo 2: Fuera de fase

Energía en oscilaciones acopladas

La energía puede transferirse entre los osciladores en un sistema acoplado, produciendo latidos o oscilaciones periódicas de energía entre los modos. La energía total en tal sistema puede expresarse como la suma de la energía cinética y potencial. Las expresiones de energía individuales dependen del modo normal que se excite.

E = T + U

donde T es la energía cinética y U es la energía potencial. El análisis de la transferencia de energía proporciona información profunda sobre la dinámica del sistema.

Aplicación

Las oscilaciones acopladas y los modos normales tienen amplias aplicaciones en física e ingeniería. Algunos ejemplos notables incluyen:

  • Vibraciones moleculares: El análisis de modos normales ayuda a comprender el espectro de vibración de las moléculas, lo cual es importante para las reacciones químicas.
  • Sistemas mecánicos: Las estructuras de ingeniería, incluidos puentes y edificios, se diseñan teniendo en cuenta los modos normales para evitar frecuencias resonantes.
  • Electrónica: Los circuitos acoplados y dispositivos como filtros y osciladores utilizan los conceptos de oscilaciones acopladas para un diseño eficiente.

Conclusión

Comprender las oscilaciones acopladas y los modos normales es fundamental para comprender el comportamiento oscilatorio complejo en muchos sistemas físicos. Al estudiar estos conceptos, podemos predecir el comportamiento del sistema, optimizar diseños en ingeniería y comprender fenómenos naturales. Las herramientas matemáticas proporcionadas dan soluciones generales aplicables a muchas disciplinas, demostrando la versatilidad e importancia de estos principios de mecánica clásica.


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Oscilaciones acopladas y modos comunes

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