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संयुक्त कंपन और सामान्य मोड
जब दो या अधिक दोलन प्रणालियाँ एक-दूसरे के साथ संपर्क करती हैं, तो वे रोचक और जटिल व्यवहार प्रदर्शित कर सकती हैं। इस संपर्क को अक्सर युग्मन कहा जाता है। संयुक्त कंपन की स्पष्ट समझ महत्वपूर्ण है क्योंकि यह शास्त्रीय और क्वांटम भौतिकी में देखी गई कई घटनाओं के साथ-साथ कई तकनीकी अनुप्रयोगों के लिए आधार प्रदान करती है।
मूलभूत अवधारणाएं
आइए, समान लंबाई वाले दो पेंडुलमों पर विचार करें, जिन्हें एक स्प्रिंग द्वारा जोड़ा गया है। यदि आप एक पेंडुलम को हटाते हैं और इसे छोड़ देते हैं, तो आप देखेंगे कि कुछ समय पश्चात, गति लगभग पूरी तरह से दूसरे पेंडुलम में स्थानांतरित हो जाती है। यह संयुक्त कंपन का एक क्लासिक प्रदर्शन है।
संयुक्त कंपन का गणितीय विश्लेषण
मान लीजिये दो युग्मित दोलक समान द्रव्यमान m और स्प्रिंग संवैधानिक k के साथ, एक अतिरिक्त स्प्रिंग द्वारा जुड़े हुए हैं, जिसका स्प्रिंग संवैधानिक k_c है। संतुलन से विस्थापनों x1 और x2 के लिए संचलन समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
m(d²x1/dt²) = -kx1 + kc(x2 - x1) m(d²x2/dt²) = -kx2 + kc(x1 - x2)मैट्रिक्स रूप में, ये समीकरण बन जाते हैं:
m(d²X/dt²) = -KXजहां X विस्थापनों का वेक्टर है और K स्प्रिंग संवैधानिक का मैट्रिक्स है:
X = | x1 | | x2 | K = | k + kc -kc | | -kc k + kc |सामान्य मोड
किसी संयुक्त दोलन प्रणाली का सामान्य मोड गति का वह प्रतिरूप है जिसमें प्रणाली के सभी भाग एक ही आवृत्ति के साथ कोसाइन प्रकारीय तरंग में दोलन करते हैं और स्थिर सापेक्ष निरांत स्थापन बनाए रखते हैं।
(K - mω²I)A = 0जहां ω कोणीय आवृत्ति है, I पहचान मैट्रिक्स है, और A निरांत स्थापन का वेक्टर है। इस समस्या के समाधान से अनुमति प्राप्त आवृत्तियां (व Eigenvalues) मिल जाती हैं और उनके संबंधित मोड रूप (Eigenvectors) भी मिल जाते हैं।
उदाहरण गणना
मान लीजिये दोनों पेंडुलमों का द्रव्यमान 1 किग्रा है, स्प्रिंग संवैधानिक 50 N/m है, और युग्मित स्प्रिंग संवैधानिक 10 N/m है:
K = | 60 -10 | | -10 60 |Eigenvalue समीकरण इस रूप में हो जाता है:
| 60 - mω² -10 | | A1 | = 0 | -10 60 - mω² | | A2 |इसको गैर-तुच्छ समाधानों के लिए हल करने पर:
(60 - mω²)² - 100 = 0द्विघात समीकरण को हल करने पर हमें दो सामान्य मोड आवृत्तियां मिलती हैं।
सामान्य मोड का दृश्यांकन
गणना की गई सामान्य मोड आवृत्तियों के लिए, हम उनके संबंधित मोड रूप देख सकते हैं:
संयुक्त कंपन में ऊर्जा
संयुक्त प्रणाली में ऊर्जा को एक-दूसरे के बीच स्थानांतरित किया जा सकता है, जिससे मोड के बीच धड़कन या आवर्त ऊर्जा कंपन उत्पन्न होते हैं। ऐसे प्रणाली में कुल ऊर्जा को गतिज और संभाव्य ऊर्जा के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। व्यक्तिगत ऊर्जा अभिव्यक्तियां उस सामान्य मोड पर निर्भर करती हैं जिसे उत्प्रेरित किया जा रहा है।
E = T + Uजहां T गतिज ऊर्जा है और U संभाव्य ऊर्जा। ऊर्जा के स्थानांतरण का विश्लेषण प्रणाली की गतिशीलता के बारे में गहन जानकारी प्रदान करता है।
प्रयोग
संयुक्त कंपन और सामान्य मोडों का भौतिकी और इंजीनियरिंग में व्यापक अनुप्रयोग होता है। कुछ उल्लेखनीय उदाहरणों में शामिल हैं:
- आणविक कंपन: सामान्य मोड विश्लेषण अणुओं के कंपन स्पेक्ट्रम को समझने में मदद करता है, जो रासायनिक अभिक्रियाओं के लिए महत्वपूर्ण होता है।
- यांत्रिक प्रणाली: इंजीनियरिंग संरचनाओं, जिसमें पुल और इमारतें शामिल हैं, को सामने आने वाली प्रतिध्वनि आवृत्तियों से बचने के लिए सामान्य मोड मैनिकाओं के साथ डिजाइन किया जाता है।
- इलेक्ट्रॉनिक्स: संयुक्त सर्किट और उपकरण जैसे फिल्टर और दोलनकारी युग्मित कंपन की अवधारणाओं का उपयोग करते हैं।
निष्कर्ष
संयुक्त कंपन और सामान्य मोडों को समझना कई भौतिक प्रणालियों के जटिल दोलन व्यवहार को समझने के लिए मौलिक है। इन अवधारणाओं का अध्ययन करके, हम प्रणाली के व्यवहार की भविष्यवाणी कर सकते हैं, इंजीनियरिंग में डिजाइन का अनुकूलन कर सकते हैं, और प्राकृतिक घटनाओं को समझ सकते हैं। प्रदान किए गए गणितीय उपकरण कई अनुशासनकों पर आम समाधान देते हैं, जो इन शास्त्रीय यांत्रिकी के सिद्धांतों की बहुमुखी उपयोगिता और महत्व को प्रदर्शित करते हैं।
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