Graduação
  1. Mecânica clássica  1.1. dinâmica  1.1.1. Movimento em uma dimensão  1.1.2. Movimento em duas dimensões  1.1.3. movimento de projétil  1.1.4. Velocidade relativa  1.1.5. Movimento circular uniforme  1.1.6. Movimento circular não uniforme  1.1.7. Sistemas de referência e transformações  1.2. Leis de Newton do Movimento  1.2.1. Primeira lei do movimento  1.2.2. Segunda lei do movimento  1.2.3. Terceira Lei do Movimento  1.2.4. Aplicações das Leis de Newton  1.2.5. Atrito e seus tipos  1.2.6. Diagrama de Corpo Livre  1.2.7. Restrições e pseudo-forças  1.3. Trabalho e Energia  1.3.1. trabalho realizado pela força  1.3.2. Teorema trabalho–energia  1.3.3. Energia Cinética  1.3.4. Energia potencial na mecânica clássica  1.3.5. Forças conservativas e não conservativas  1.3.6. Conservação de Energia  1.3.7. Potência e eficiência  1.4. Velocidade e colisões  1.4.1. Momento linear  1.4.2. Conservação do Momento  1.4.3. Impulso e força de impacto  1.4.4. Colisão elástica e inelástica  1.4.5. Centro de massa e velocidade  1.4.6. Propulsão de Foguetes  1.5. Movimento rotacional  1.5.1. Torque e Momento Angular  1.5.2. Momento de inércia  1.5.3. Cinemática Rotacional  1.5.4. Energia Rotacional  1.5.5. Movimento de Rolamento  1.5.6. Precessão e movimento giroscópico  1.6. Força gravitacional  1.6.1. Lei da gravitação universal de Newton  1.6.2. Energia potencial gravitacional  1.6.3. Mecânica orbital  1.6.4. Leis do movimento planetário de Kepler  1.6.5. Campo gravitacional e potencial  1.7. Fluid mechanics  1.7.1. Pressão e Princípio de Pascal  1.7.2. Flutuabilidade e o Princípio de Arquimedes  1.7.3. Dinâmica dos Fluidos e Princípio de Bernoulli  1.7.4. Viscosidade e Lei de Poiseuille  1.7.5. Tensão superficial e capilaridade  1.8. Oscilações e ondas  1.8.1. Movimento Harmônico Simples  1.8.2. Oscilações amortecidas e forçadas  1.8.3. Oscilações acopladas e modos comuns  1.8.4. Propriedades e tipos de ondas  1.8.5. Ondas Sonoras e o Efeito Doppler  1.8.6. Interferência de ondas e superposição
  2. Eletromagnetismo  2.1. Eletrostática  2.1.1. Carga elétrica e propriedades  2.1.2. Lei de Coulomb  2.1.3. Campo elétrico e potencial elétrico  2.1.4. Lei de Gauss  2.1.5. Capacitância e Dielétrico  2.1.6. Dipolo elétrico e energia potencial  2.2. Circuitos Elétricos  2.2.1. Corrente e Resistência  2.2.2. Lei de Ohm  2.2.3. Leis de Kirchhoff  2.2.4. Circuito RC  2.2.5. Circuits de CA e Reatância  2.2.6. Energia e potência elétrica  2.3. Magnetismo  2.3.1. Campos e Forças Magnéticas  2.3.2. Lei de Ampère  2.3.3. Momento de dipolo magnético  2.3.4. Lei de Biot-Savart  2.3.5. Materiais Magnéticos e Histerese  2.4. Indução eletromagnética  2.4.1. Lei de Faraday  2.4.2. Lei de Lenz  2.4.3. Autoindução e indução mútua  2.4.4. Transformadores e circuitos indutivos  2.5. Equações de Maxwell  2.5.1. Lei de Gauss para eletricidade  2.5.2. Lei de Gauss para o magnetismo  2.5.3. Lei da indução de Faraday  2.5.4. Lei de Ampere-Maxwell  2.5.5. Ondas eletromagnéticas
  3. Termodinâmica  3.1. Leis da Termodinâmica  3.1.1. Lei Zero da Termodinâmica  3.1.2. Primeira lei da termodinâmica  3.1.3. Segunda Lei  3.1.4. Terceira Lei  3.2. Calor e trabalho  3.2.1. Transferência de calor (condução, convecção, radiação)  3.2.2. Expansão térmica  3.2.3. Motores térmicos e refrigeradores  3.2.4. Ciclo de Carnot e eficiência  3.3. Mecânica estatística  3.3.1. Distribuição de Maxwell–Boltzmann  3.3.2. Entropia e Probabilidade  3.3.3. Função de partição  3.3.4. Estatísticas de Fermi–Dirac e Bose–Einstein
  4. Óptica  4.1. Óptica Geométrica  4.1.1. Reflexão e Refração  4.1.2. Espelhos e lentes  4.1.3. Instrumentos Ópticos  4.1.4. Princípio de Fermat  4.2. Óptica de ondas  4.2.1. Interferência em óptica de ondas  4.2.2. Difração  4.2.3. Polarização  4.2.4. Coerência e holografia
  5. Mecânica quântica  5.1. Dualidade onda-partícula  5.1.1. Radiação de corpo negro na dualidade onda-partícula em mecânica quântica  5.1.2. Efeito Fotoelétrico  5.1.3. Espalhamento Compton  5.1.4. Comprimento de onda de De Broglie  5.2. Equação de Schrödinger  5.2.1. Equação de Schrödinger independente do tempo  5.2.2. Partícula em uma caixa  5.2.3. Túnel Quântico  5.2.4. Poços e barreiras de potencial  5.3. Estados Quânticos  5.3.1. Função de onda  5.3.2. Operadores quânticos  5.3.3. Princípio da incerteza de Heisenberg  5.3.4. Momento angular e spin
  6. Relatividade  6.1. Relatividade especial  6.1.1. Transformações de Lorentz  6.1.2. Expansão do tempo e contração do comprimento  6.1.3. Energia relativística e momento  6.2. Relatividade Geral  6.2.1. Princípio da Equivalência  6.2.2. Métrica de Schwarzschild  6.2.3. Ondas gravitacionais  6.2.4. Buracos negros e horizontes de eventos
  7. Física do estado sólido  7.1. Estrutura cristalina  7.1.1. Redes de Bravais  7.1.2. Difração de raios X  7.1.3. Teoria das bandas  7.1.4. Fónons e vibrações da rede  7.2. Propriedades Elétricas e Magnéticas  7.2.1. Condutores, Semicondutores e Isolantes  7.2.2. Supercondutividade  7.2.3. Efeito Hall
  8. Física nuclear e de partículas  8.1. Estrutura Atômica  8.1.1. Modelo Atômico  8.1.2. Energia de ligação nuclear  8.2. Radioatividade  8.2.1. Decaimento alfa, beta, gama  8.2.2. Meia-vida  8.2.3. Fissão e Fusão Nuclear  8.3. Física de partículas  8.3.1. Modelo Padrão  8.3.2. Quarks e Léptons  8.3.3. antimatéria  8.3.4. Interações fundamentais
  9. Astrofísica e cosmologia  9.1. Evolução estelar  9.1.1. Formação estelar  9.1.2. Buracos negros e estrelas de nêutrons  9.1.3. Anãs brancas e supernovas  9.2. Cosmologia  9.2.1. The Big Bang Theory  9.2.2. Matéria escura e energia escura  9.2.3. Fundo cósmico de micro-ondas

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Oscilações acopladas e modos comuns


Quando dois ou mais sistemas oscilatórios interagem entre si, podem exibir um comportamento interessante e complexo. Esta interação é frequentemente chamada de acoplamento. Uma compreensão clara das oscilaçãoes acopladas é importante porque fundamenta uma variedade de fenômenos observados na física clássica e quântica, bem como muitas aplicações tecnológicas.

Conceitos básicos

Vamos considerar dois pêndulos do mesmo comprimento, conectados por uma mola. Se você deslocar um pêndulo e soltá-lo, verá que após algum tempo, o momento é quase completamente transferido para o outro pêndulo. Esta é uma demonstração clássica de oscilaçãoes acopladas.

Suporte Fixo Mola

Análise matemática das oscilaçãoes acopladas

Considere dois osciladores acoplados com massas iguais m e constante de mola k, conectados por uma mola adicional com constante de mola k_c. As equações de movimento para os deslocamentos x1 e x2 a partir do equilíbrio podem ser escritas como:

m(d²x1/dt²) = -kx1 + kc(x2 - x1) m(d²x2/dt²) = -kx2 + kc(x1 - x2)

Em forma matricial, estas equações tornam-se:

m(d²X/dt²) = -KX

onde X é o vetor de deslocamentos e K é a matriz das constantes de mola:

X = | x1 | | x2 | K = | k + kc -kc | | -kc k + kc |

Modo normal

O modo normal de um sistema oscilatório acoplado é um padrão de movimento no qual todas as partes do sistema oscilam sinusoidalmente com a mesma frequência e mantêm amplitudes relativas fixas. Encontrar o modo normal de um sistema envolve resolver o problema de autovalores:

(K - mω²I)A = 0

onde ω é a frequência angular, I é a matriz identidade, e A é o vetor de amplitudes. As soluções deste problema fornecem as frequências permitidas (autovalores) e as formas de modo correspondentes (autovetores).

Cálculo de exemplo

Suponha que a massa de ambos os pêndulos seja 1 kg, a constante de mola seja 50 N/m, e a constante de acoplamento da mola seja 10 N/m:

K = | 60 -10 | | -10 60 |

A equação de autovalor torna-se:

| 60 - mω² -10 | | A1 | = 0 | -10 60 - mω² | | A2 |

Resolvendo isso para soluções não triviais, obtemos:

(60 - mω²)² - 100 = 0

Resolvendo a equação quadrática, obtemos duas frequências de modos comuns.

Visualização do modo normal

Para as frequências do modo normal calculadas, podemos observar suas formas de modo correspondentes:

1 2 Modo 1: Em fase 1 2 Modo 2: Fora de fase

Energia em oscilaçãoes acopladas

A energia pode ser transferida entre os osciladores em um sistema acoplado, produzindo batimentos ou oscilações periódicas de energia entre os modos. A energia total em tal sistema pode ser expressa como a soma de energia cinética e potencial. As expressões individuais de energia dependem do modo normal sendo excitado.

E = T + U

onde T é a energia cinética e U é a energia potencial. A análise da transferência de energia fornece informações profundas sobre a dinâmica do sistema.

Aplicação

Oscilações acopladas e modos normais têm amplas aplicações na física e engenharia. Alguns exemplos notáveis incluem:

  • Vibrações moleculares: A análise de modo normal ajuda a entender o espectro vibracional de moléculas, o que é importante para reações químicas.
  • Sistemas mecânicos: Estruturas de engenharia, incluindo pontes e edifícios, são projetadas com modos normais em mente para evitar frequências ressonantes.
  • Eletrônicos: Circuitos acoplados e dispositivos como filtros e osciladores usam os conceitos de oscilaçãoes acopladas para um design eficiente.

Conclusão

Compreender as oscilações acopladas e modos normais é fundamental para entender comportamentos oscilatórios complexos em muitos sistemas físicos. Ao estudar esses conceitos, podemos prever o comportamento do sistema, otimizar projetos em engenharia e entender fenômenos naturais. As ferramentas matemáticas fornecidas oferecem soluções gerais aplicáveis a muitas disciplinas, demonstrando a versatilidade e importância desses princípios da mecânica clássica.


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Oscilações acopladas e modos comuns

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