Pregrado
  1. Mecánica clásica  1.1. dinámica  1.1.1. Movimiento en una dimensión  1.1.2. Movimiento en dos dimensiones  1.1.3. projectile motion  1.1.4. Velocidad relativa  1.1.5. Movimiento circular uniforme  1.1.6. Movimiento circular no uniforme  1.1.7. Sistemas de referencia y transformaciones  1.2. Newton's Laws of Motion  1.2.1. Primera ley del movimiento  1.2.2. Segunda ley del movimiento  1.2.3. Tercera Ley del Movimiento  1.2.4. Aplicaciones de las leyes de Newton  1.2.5. Fricción y sus tipos  1.2.6. Diagrama de Cuerpo Libre  1.2.7. Restricciones y pseudo-fuerzas  1.3. Trabajo y energía  1.3.1. Trabajo realizado por la fuerza  1.3.2. Teorema trabajo-energía  1.3.3. Energía cinética  1.3.4. Energía potencial en la mecánica clásica  1.3.5. Fuerzas conservativas y no conservativas  1.3.6. Conservación de la Energía  1.3.7. Poder y eficiencia  1.4. Velocidad y colisiones  1.4.1. Momento lineal  1.4.2. Conservación del momento  1.4.3. Impulso y fuerza de impacto  1.4.4. Colisión elástica e inelástica  1.4.5. Centro de masa y velocidad  1.4.6. Propulsión de Cohetes  1.5. Movimiento rotacional  1.5.1. Torque y Momento Angular  1.5.2. Momento de inercia  1.5.3. Cinemática Rotacional  1.5.4. Energía Rotacional  1.5.5. Movimiento de rodadura  1.5.6. Precesión y movimiento giroscópico  1.6. Fuerza gravitacional  1.6.1. La ley de la gravitación universal de Newton  1.6.2. Energía potencial gravitatoria  1.6.3. Mecánica orbital  1.6.4. Leyes del movimiento planetario de Kepler  1.6.5. Campo y potencial gravitatorio  1.7. Mecánica de fluidos  1.7.1. Presión y el Principio de Pascal  1.7.2. Flotabilidad y el principio de Arquímedes  1.7.3. Dinámica de Fluidos y el Principio de Bernoulli  1.7.4. Viscosidad y la ley de Poiseuille  1.7.5. Tensión superficial y capilaridad  1.8. Oscilaciones y ondas  1.8.1. Movimiento Armónico Simple  1.8.2. Oscilaciones amortiguadas y forzadas  1.8.3. Oscilaciones acopladas y modos comunes  1.8.4. Propiedades y tipos de ondas  1.8.5. Ondas Sonoras y el Efecto Doppler  1.8.6. Interferencia de ondas y superposición
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrostática  2.1.1. Carga eléctrica y propiedades  2.1.2. Ley de Coulomb  2.1.3. Electric field and electric potential  2.1.4. La Ley de Gauss  2.1.5. Capacitancia y Dieléctrico  2.1.6. Dipolo eléctrico y energía potencial  2.2. Circuitos eléctricos  2.2.1. Corriente y Resistencia  2.2.2. Ley de Ohm  2.2.3. Leyes de Kirchhoff  2.2.4. Circuito RC  2.2.5. Circuitos de CA y Reactancia  2.2.6. Electricidad y energía eléctrica  2.3. Magnetismo  2.3.1. Campos y Fuerzas Magnéticas  2.3.2. La Ley de Ampere  2.3.3. Momento dipolar magnético  2.3.4. Ley de Biot-Savart  2.3.5. Materiales Magnéticos y Histeresis  2.4. Inducción electromagnética  2.4.1. Ley de Faraday  2.4.2. La ley de Lenz  2.4.3. Autoinducción y mutua inducción  2.4.4. Transformadores y Circuitos Inductivos  2.5. Ecuaciones de Maxwell  2.5.1. La ley de Gauss para la electricidad  2.5.2. Ley de Gauss para el magnetismo  2.5.3. La ley de inducción de Faraday  2.5.4. Ley de Ampere-Maxwell  2.5.5. Ondas electromagnéticas
  3. Termodinámica  3.1. Leyes de la Termodinámica  3.1.1. Ley cero de la termodinámica  3.1.2. Primera ley de la termodinámica  3.1.3. Segunda Ley  3.1.4. Tercera Ley  3.2. Calor y trabajo  3.2.1. Transferencia de calor (conducción, convección, radiación)  3.2.2. Expansión térmica  3.2.3. Motores térmicos y refrigeradores  3.2.4. Ciclo de Carnot y eficiencia  3.3. Mecánica estadística  3.3.1. Distribución de Maxwell–Boltzmann  3.3.2. Entropía y Probabilidad  3.3.3. Función de partición  3.3.4. Estadísticas de Fermi–Dirac y Bose–Einstein
  4. Óptica  4.1. Óptica Geométrica  4.1.1. Reflexión y refracción  4.1.2. Espejos y lentes  4.1.3. Instrumentos Ópticos  4.1.4. El principio de Fermat  4.2. Óptica de ondas  4.2.1. Interferencia en la óptica de ondas  4.2.2. Difracción  4.2.3. Polarización  4.2.4. Coherencia y holografía
  5. Mecánica cuántica  5.1. Dualidad onda-partícula  5.1.1. Radiación de cuerpo negro en la dualidad onda-partícula en la mecánica cuántica  5.1.2. Efecto fotoeléctrico  5.1.3. Dispersión Compton  5.1.4. Longitud de onda de De Broglie  5.2. Ecuación de Schrödinger  5.2.1. Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo  5.2.2. Partícula en una caja  5.2.3. Efecto túnel cuántico  5.2.4. Pozos de potencial y obstáculos  5.3. Estados Cuánticos  5.3.1. Función de onda  5.3.2. Operadores cuánticos  5.3.3. Principio de incertidumbre de Heisenberg  5.3.4. Momento angular y espín
  6. Relatividad  6.1. Relatividad especial  6.1.1. Transformaciones de Lorentz  6.1.2. Expansión del tiempo y contracción de la longitud  6.1.3. Energía y momento relativista  6.2. Relatividad general  6.2.1. Principio de Equivalencia  6.2.2. Métrica de Schwarzschild  6.2.3. Ondas gravitacionales  6.2.4. Agujeros negros y horizontes de eventos
  7. Física del estado sólido  7.1. Estructura cristalina  7.1.1. Redes de Bravais  7.1.2. Difracción de rayos X  7.1.3. Teoría de bandas  7.1.4. Fonones y vibraciones de red  7.2. Propiedades Eléctricas y Magnéticas  7.2.1. Conductores, Semiconductores e Aislantes  7.2.2. Superconductividad  7.2.3. Efecto Hall
  8. Física nuclear y de partículas  8.1. Estructura Atómica  8.1.1. Modelo Atómico  8.1.2. Energía de enlace nuclear  8.2. Radiactividad  8.2.1. Desintegración alfa, beta, gamma  8.2.2. Vida media  8.2.3. Fisión y Fusión Nuclear  8.3. Física de partículas  8.3.1. Modelo Estándar  8.3.2. Quarks y Leptones  8.3.3. antimateria  8.3.4. Interacciones fundamentales
  9. Astrofísica y cosmología  9.1. Evolución estelar  9.1.1. Formación estelar  9.1.2. Agujeros negros y estrellas de neutrones  9.1.3. Enanas blancas y supernovas  9.2. Cosmología  9.2.1. La Teoría del Big Bang  9.2.2. Materia oscura y energía oscura  9.2.3. Fondo cósmico de microondas

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Distribución de Maxwell–Boltzmann


En el estudio de la física, particularmente en mecánica estadística y termodinámica, la distribución de Maxwell-Boltzmann es un concepto importante. Proporciona un medio estadístico para describir el movimiento de partículas dentro de un gas y es aplicable en una variedad de situaciones, principalmente clásicas, asumiendo un comportamiento no cuántico. Veamos varios aspectos de esta distribución con más detalle.

Antecedentes

Para comenzar a entender la distribución de Maxwell-Boltzmann, primero es necesario considerar el contexto en el que se aplica. Esta distribución se refiere a las partículas de gas en un sistema cerrado. Cuando un gas está en equilibrio térmico, las partículas están en movimiento continuo y aleatorio. Sus velocidades varían ampliamente, lo que significa que algunas partículas se mueven lentamente mientras otras se mueven bastante rápido.

Esta distribución surge de un intento de describir cómo se comparten estas velocidades entre las partículas. Ludwig Boltzmann y James Clerk Maxwell derivaron esta distribución de manera independiente en el siglo XIX. Sirve como la piedra angular para la teoría cinética de los gases y ayuda a explicar fenómenos gaseosos observables, incluyendo la presión y la temperatura.

Formulación matemática

Matemáticamente, la distribución de Maxwell-Boltzmann describe la probabilidad de que una partícula en un gas tenga una velocidad particular (o un rango de velocidades). La fórmula para la función de distribución de probabilidad para la velocidad (v) se da como:

f(v) = (sqrt{left(frac{2}{pi}right)} left(frac{m}{kT}right)^{3/2} v^2 e^{-frac{mv^2}{2kT}})

Dónde:

  • ( f(v) ): Función de distribución de probabilidad para la velocidad
  • ( m ): Masa de la partícula
  • ( k ): Constante de Boltzmann ((1.38 times 10^{-23} , text{m}^2 text{kg/s}^2 text{K}^{-1}))
  • ( T ): Temperatura absoluta en Kelvin
  • ( v ): velocidad de la partícula

La función ( f(v) ) indica cuán probable es que una partícula dentro de un gas tenga la velocidad ( v ). Esta distribución se sostiene específicamente para gases ideales clásicos y asume que no dominan los efectos cuánticos.

Visualizando la distribución

Una forma útil de entender la distribución de Maxwell-Boltzmann es a través de una representación gráfica. A continuación se muestra un ejemplo que muestra una curva típica de distribución de Maxwell-Boltzmann para la velocidad de las partículas:

Velocidad Posibilidad

El gráfico muestra cómo las partículas se distribuyen según la velocidad a una temperatura particular. Nótese que el pico de la curva no está en cero; solo unas pocas partículas están estacionarias. La mayoría se mueve a velocidades moderadas, mientras que algunas partículas logran velocidades muy altas.

Dependencia de la temperatura

La temperatura afecta significativamente la distribución de Maxwell–Boltzmann. A medida que la temperatura aumenta, el pico de la curva de distribución se desplaza a velocidades más altas, lo que indica que las partículas tienen más energía cinética en promedio. A temperaturas más bajas, la distribución se vuelve más estrecha y alcanza un pico anterior, indicando velocidades de partículas más lentas. Esta relación se explica a continuación:

Velocidad Posibilidad Baja temperatura Alta temperatura

Las dos curvas muestran la distribución a dos temperaturas diferentes: una baja (azul) y una alta temperatura (rojo). El efecto de la temperatura sobre la velocidad de las partículas es claro a partir de esta expresión gráfica.

Ejemplo del mundo real: moléculas de aire

Consideremos un ejemplo del mundo real: las moléculas de nitrógeno en el aire a nuestro alrededor. Asumiendo una temperatura normal de 300K (alrededor de 27°C o 80°F), podemos usar la distribución de Maxwell-Boltzmann para encontrar las diferentes velocidades de una molécula de nitrógeno. Para esto, sabemos que la masa molar del nitrógeno es de aproximadamente 28 g/mol, lo que se convierte a 28 x (10^{-3}) kg/mol. Con el (text{número de Avogadro}), la masa (masa molecular promedio) de una sola molécula de nitrógeno se calcula como sigue:

m = (frac{28 times 10^{-3}}{6.022 times 10^{23}} approx 4.65 times 10^{-26} text{ kg})

Podemos entonces sustituir los valores en la ecuación de Maxwell-Boltzmann para encontrar la distribución de velocidades a 300K.

Ganando impulso importante

En el contexto de la distribución de Maxwell–Boltzmann, tres valores de impulso importantes describen diferentes aspectos del movimiento de las partículas:

  • Velocidad más probable ((v_p)): Esta es la velocidad en el pico de la distribución; es la velocidad que una partícula es más probable que tenga. 
    v_p = (sqrt{frac{2kT}{m}})
  • Velocidad promedio ((v_{avg})): Esta velocidad representa el valor promedio de todas las velocidades de las partículas. 
    v_{avg} = (sqrt{frac{8kT}{pi m}})
  • Velocidad cuadrática media ((v_{rms})): Esta velocidad se obtiene a partir de la raíz cuadrada del promedio de los cuadrados de las velocidades, lo que indica la velocidad característica de las partículas que está más relacionada con la energía cinética. 
    v_{rms} = (sqrt{frac{3kT}{m}})

Estos cálculos muestran cómo la teoría cinética relaciona la velocidad molecular, la masa, la temperatura y la energía.

La importancia de las suposiciones

Las suposiciones detrás del modelo de distribución de Maxwell-Boltzmann se relacionan principalmente con el escenario de gas ideal clásico. Pero es importante entender estas suposiciones porque muchos gases del mundo real a veces se desvían de ellas. Por ejemplo, el modelo asume partículas rígidas y no interaccionantes y no es adecuado para gases cuánticos o condensados de Bose-Einstein. No obstante, proporciona una descripción precisa para muchas situaciones prácticas.

Limitaciones y correcciones cuánticas

Aunque la distribución de Maxwell–Boltzmann es muy útil, tiene limitaciones cuando las condiciones del sistema se desvían de las suposiciones, como a bajas temperaturas o altas densidades. En tales circunstancias, la mecánica estadística cuántica, en particular las distribuciones de Fermi–Dirac y Bose–Einstein, se vuelve necesaria:

  • Distribución de Fermi–Dirac: se aplica a fermiones que obedecen el principio de exclusión de Pauli y puede predecir el comportamiento de los electrones en los metales.
  • Distribución de Bose–Einstein: aplicada a bosones, predice fenómenos como la superfluidez y el condensado de Bose-Einstein.

Conclusión

La distribución de Maxwell–Boltzmann es un aspecto fundamental de la mecánica estadística y la termodinámica, proporcionando información sobre el comportamiento de las partículas de gas a nivel macroscópico. Proporciona más que simplemente una distribución de probabilidad de velocidad: guía nuestra comprensión de la teoría cinética molecular, forma un puente hacia estudios basados en experimentos y allana el camino para modelos estadísticos alternativos.

Una comprensión clara de la distribución de Maxwell–Boltzmann es esencial para los estudiantes que ingresan a áreas profundas de la física, como la física del estado sólido, la cinética química y los ciclos termodinámicos.


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