Graduação
  1. Mecânica clássica  1.1. dinâmica  1.1.1. Movimento em uma dimensão  1.1.2. Movimento em duas dimensões  1.1.3. movimento de projétil  1.1.4. Velocidade relativa  1.1.5. Movimento circular uniforme  1.1.6. Movimento circular não uniforme  1.1.7. Sistemas de referência e transformações  1.2. Leis de Newton do Movimento  1.2.1. Primeira lei do movimento  1.2.2. Segunda lei do movimento  1.2.3. Terceira Lei do Movimento  1.2.4. Aplicações das Leis de Newton  1.2.5. Atrito e seus tipos  1.2.6. Diagrama de Corpo Livre  1.2.7. Restrições e pseudo-forças  1.3. Trabalho e Energia  1.3.1. trabalho realizado pela força  1.3.2. Teorema trabalho–energia  1.3.3. Energia Cinética  1.3.4. Energia potencial na mecânica clássica  1.3.5. Forças conservativas e não conservativas  1.3.6. Conservação de Energia  1.3.7. Potência e eficiência  1.4. Velocidade e colisões  1.4.1. Momento linear  1.4.2. Conservação do Momento  1.4.3. Impulso e força de impacto  1.4.4. Colisão elástica e inelástica  1.4.5. Centro de massa e velocidade  1.4.6. Propulsão de Foguetes  1.5. Movimento rotacional  1.5.1. Torque e Momento Angular  1.5.2. Momento de inércia  1.5.3. Cinemática Rotacional  1.5.4. Energia Rotacional  1.5.5. Movimento de Rolamento  1.5.6. Precessão e movimento giroscópico  1.6. Força gravitacional  1.6.1. Lei da gravitação universal de Newton  1.6.2. Energia potencial gravitacional  1.6.3. Mecânica orbital  1.6.4. Leis do movimento planetário de Kepler  1.6.5. Campo gravitacional e potencial  1.7. Fluid mechanics  1.7.1. Pressão e Princípio de Pascal  1.7.2. Flutuabilidade e o Princípio de Arquimedes  1.7.3. Dinâmica dos Fluidos e Princípio de Bernoulli  1.7.4. Viscosidade e Lei de Poiseuille  1.7.5. Tensão superficial e capilaridade  1.8. Oscilações e ondas  1.8.1. Movimento Harmônico Simples  1.8.2. Oscilações amortecidas e forçadas  1.8.3. Oscilações acopladas e modos comuns  1.8.4. Propriedades e tipos de ondas  1.8.5. Ondas Sonoras e o Efeito Doppler  1.8.6. Interferência de ondas e superposição
  2. Eletromagnetismo  2.1. Eletrostática  2.1.1. Carga elétrica e propriedades  2.1.2. Lei de Coulomb  2.1.3. Campo elétrico e potencial elétrico  2.1.4. Lei de Gauss  2.1.5. Capacitância e Dielétrico  2.1.6. Dipolo elétrico e energia potencial  2.2. Circuitos Elétricos  2.2.1. Corrente e Resistência  2.2.2. Lei de Ohm  2.2.3. Leis de Kirchhoff  2.2.4. Circuito RC  2.2.5. Circuits de CA e Reatância  2.2.6. Energia e potência elétrica  2.3. Magnetismo  2.3.1. Campos e Forças Magnéticas  2.3.2. Lei de Ampère  2.3.3. Momento de dipolo magnético  2.3.4. Lei de Biot-Savart  2.3.5. Materiais Magnéticos e Histerese  2.4. Indução eletromagnética  2.4.1. Lei de Faraday  2.4.2. Lei de Lenz  2.4.3. Autoindução e indução mútua  2.4.4. Transformadores e circuitos indutivos  2.5. Equações de Maxwell  2.5.1. Lei de Gauss para eletricidade  2.5.2. Lei de Gauss para o magnetismo  2.5.3. Lei da indução de Faraday  2.5.4. Lei de Ampere-Maxwell  2.5.5. Ondas eletromagnéticas
  3. Termodinâmica  3.1. Leis da Termodinâmica  3.1.1. Lei Zero da Termodinâmica  3.1.2. Primeira lei da termodinâmica  3.1.3. Segunda Lei  3.1.4. Terceira Lei  3.2. Calor e trabalho  3.2.1. Transferência de calor (condução, convecção, radiação)  3.2.2. Expansão térmica  3.2.3. Motores térmicos e refrigeradores  3.2.4. Ciclo de Carnot e eficiência  3.3. Mecânica estatística  3.3.1. Distribuição de Maxwell–Boltzmann  3.3.2. Entropia e Probabilidade  3.3.3. Função de partição  3.3.4. Estatísticas de Fermi–Dirac e Bose–Einstein
  4. Óptica  4.1. Óptica Geométrica  4.1.1. Reflexão e Refração  4.1.2. Espelhos e lentes  4.1.3. Instrumentos Ópticos  4.1.4. Princípio de Fermat  4.2. Óptica de ondas  4.2.1. Interferência em óptica de ondas  4.2.2. Difração  4.2.3. Polarização  4.2.4. Coerência e holografia
  5. Mecânica quântica  5.1. Dualidade onda-partícula  5.1.1. Radiação de corpo negro na dualidade onda-partícula em mecânica quântica  5.1.2. Efeito Fotoelétrico  5.1.3. Espalhamento Compton  5.1.4. Comprimento de onda de De Broglie  5.2. Equação de Schrödinger  5.2.1. Equação de Schrödinger independente do tempo  5.2.2. Partícula em uma caixa  5.2.3. Túnel Quântico  5.2.4. Poços e barreiras de potencial  5.3. Estados Quânticos  5.3.1. Função de onda  5.3.2. Operadores quânticos  5.3.3. Princípio da incerteza de Heisenberg  5.3.4. Momento angular e spin
  6. Relatividade  6.1. Relatividade especial  6.1.1. Transformações de Lorentz  6.1.2. Expansão do tempo e contração do comprimento  6.1.3. Energia relativística e momento  6.2. Relatividade Geral  6.2.1. Princípio da Equivalência  6.2.2. Métrica de Schwarzschild  6.2.3. Ondas gravitacionais  6.2.4. Buracos negros e horizontes de eventos
  7. Física do estado sólido  7.1. Estrutura cristalina  7.1.1. Redes de Bravais  7.1.2. Difração de raios X  7.1.3. Teoria das bandas  7.1.4. Fónons e vibrações da rede  7.2. Propriedades Elétricas e Magnéticas  7.2.1. Condutores, Semicondutores e Isolantes  7.2.2. Supercondutividade  7.2.3. Efeito Hall
  8. Física nuclear e de partículas  8.1. Estrutura Atômica  8.1.1. Modelo Atômico  8.1.2. Energia de ligação nuclear  8.2. Radioatividade  8.2.1. Decaimento alfa, beta, gama  8.2.2. Meia-vida  8.2.3. Fissão e Fusão Nuclear  8.3. Física de partículas  8.3.1. Modelo Padrão  8.3.2. Quarks e Léptons  8.3.3. antimatéria  8.3.4. Interações fundamentais
  9. Astrofísica e cosmologia  9.1. Evolução estelar  9.1.1. Formação estelar  9.1.2. Buracos negros e estrelas de nêutrons  9.1.3. Anãs brancas e supernovas  9.2. Cosmologia  9.2.1. The Big Bang Theory  9.2.2. Matéria escura e energia escura  9.2.3. Fundo cósmico de micro-ondas

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Distribuição de Maxwell–Boltzmann


No estudo da física, particularmente na mecânica estatística e termodinâmica, a distribuição de Maxwell-Boltzmann é um conceito importante. Ela fornece um meio estatístico para descrever o movimento de partículas dentro de um gás e é aplicável em várias situações, principalmente clássicas, assumindo comportamento não-quântico. Vamos analisar vários aspectos dessa distribuição em mais detalhes.

Contexto

Para começar a entender a distribuição de Maxwell-Boltzmann, é necessário primeiro considerar o contexto em que se aplica. Essa distribuição refere-se a partículas de gás em um sistema fechado. Quando um gás está em equilíbrio térmico, as partículas estão em movimento contínuo e aleatório. As suas velocidades variam amplamente, o que significa que algumas partículas se movem lentamente enquanto outras se movem bastante rápido.

Essa distribuição surge de uma tentativa de descrever como essas velocidades são compartilhadas entre as partículas. Ludwig Boltzmann e James Clerk Maxwell derivaram essa distribuição de forma independente no século XIX. Ela serve como base para a teoria cinética dos gases e ajuda a explicar fenômenos observáveis em gases, incluindo pressão e temperatura.

Formulação matemática

Matematicamente, a distribuição de Maxwell-Boltzmann descreve a probabilidade de uma partícula em um gás ter uma velocidade particular (ou um intervalo de velocidades). A fórmula para a função de distribuição de probabilidade para a velocidade (v) é dada por:

f(v) = (sqrt{left(frac{2}{pi}right)} left(frac{m}{kT}right)^{3/2} v^2 e^{-frac{mv^2}{2kT}})

Onde:

  • ( f(v) ): Função de distribuição de probabilidade para a velocidade
  • ( m ): Massa da partícula
  • ( k ): Constante de Boltzmann ((1.38 times 10^{-23} , text{m}^2 text{kg/s}^2 text{K}^{-1}))
  • ( T ): Temperatura absoluta em Kelvin
  • ( v ): Velocidade da partícula

A função ( f(v) ) indica o quão provável é para uma partícula dentro de um gás ter a velocidade ( v ). Essa distribuição é válida especificamente para gases ideais clássicos e assume que não há efeitos quânticos dominantes.

Visualizando a distribuição

Uma maneira útil de entender a distribuição de Maxwell-Boltzmann é por meio de uma representação gráfica. Abaixo está um exemplo que mostra uma curva típica de distribuição de Maxwell-Boltzmann para a velocidade das partículas:

Velocidade Probabilidade

O gráfico mostra como as partículas estão distribuídas de acordo com a velocidade a uma determinada temperatura. Note que o pico da curva não está no zero; apenas algumas partículas estão estacionárias. A maioria se move em velocidades moderadas, enquanto poucas partículas atingem velocidades muito altas.

Dependência da temperatura

A temperatura afeta significativamente a distribuição de Maxwell–Boltzmann. À medida que a temperatura aumenta, o pico da curva de distribuição desloca-se para velocidades mais altas, indicando que as partículas têm mais energia cinética em média. Em temperaturas mais baixas, a distribuição torna-se mais estreita e atinge um pico mais cedo, indicando velocidades de partículas mais lentas. Essa relação é explicada mais detalhadamente abaixo:

Velocidade Probabilidade Baixa Temperatura Alta Temperatura

As duas curvas mostram a distribuição em duas temperaturas diferentes: uma baixa (azul) e uma alta temperatura (vermelho). O efeito da temperatura na velocidade das partículas é claro a partir desta expressão gráfica.

Exemplo do mundo real: moléculas de ar

Vamos considerar um exemplo do mundo real: moléculas de nitrogênio no ar ao nosso redor. Assumindo uma temperatura normal de 300K (cerca de 27°C ou 80°F), podemos usar a distribuição de Maxwell-Boltzmann para encontrar as diferentes velocidades de uma molécula de nitrogênio. Para isso, sabemos que a massa molar do nitrogênio é de cerca de 28 g/mol, o que se converte em 28 x (10^{-3}) kg/mol. Com o número de Avogrado, a massa (massa molecular média) de uma única molécula de nitrogênio é calculada como segue:

m = (frac{28 times 10^{-3}}{6.022 times 10^{23}} approx 4.65 times 10^{-26} text{ kg})

Podemos então substituir os valores na equação de Maxwell-Boltzmann para encontrar a distribuição de velocidades a 300K.

Ganhando grande momento

No contexto da distribuição de Maxwell–Boltzmann, três valores de momento importantes descrevem diferentes aspectos do movimento das partículas:

  • Velocidade mais provável ((v_p)): Esta é a velocidade no pico da distribuição; esta é a velocidade que uma partícula tem mais probabilidade de ter. 
    v_p = (sqrt{frac{2kT}{m}})
  • Velocidade média ((v_{avg})): Esta velocidade representa o valor médio de todas as velocidades das partículas. 
    v_{avg} = (sqrt{frac{8kT}{pi m}})
  • Velocidade quadrática média ((v_{rms})): Esta velocidade é obtida a partir da raiz quadrada da média dos quadrados das velocidades, o que indica a velocidade característica das partículas mais intimamente relacionada com a energia cinética. 
    v_{rms} = (sqrt{frac{3kT}{m}})

Esses cálculos mostram como a teoria cinética relaciona velocidade molecular, massa, temperatura e energia.

A importância das suposições

As suposições por trás do modelo de distribuição de Maxwell-Boltzmann relacionam-se principalmente ao cenário clássico de gás ideal. Mas é importante entender essas suposições porque muitos gases reais às vezes se desviam delas. Por exemplo, o modelo assume partículas rígidas e não interativas e não é adequado para gases quânticos ou condensados de Bose-Einstein. No entanto, ele fornece uma descrição precisa para muitas situações práticas.

Limitações e correções quânticas

Embora a distribuição de Maxwell–Boltzmann seja muito útil, ela tem limitações quando as condições do sistema se desviam das suposições, como em temperaturas baixas ou altas densidades. Nessas circunstâncias, a mecânica estatística quântica, em particular as distribuições de Fermi–Dirac e Bose–Einstein, torna-se necessária:

  • Distribuição de Fermi–Dirac: se aplica a férmions que obedecem ao princípio da exclusão de Pauli e pode prever o comportamento dos elétrons em metais.
  • Distribuição de Bose–Einstein: aplicada aos bósons, prediz fenômenos como a superfluidez e o condensado de Bose–Einstein.

Conclusão

A distribuição de Maxwell–Boltzmann é um aspecto fundamental da mecânica estatística e termodinâmica, fornecendo informações sobre o comportamento das partículas de gás em nível macroscópico. Ela faz mais do que simplesmente fornecer uma distribuição de probabilidade de velocidade: guia nossa compreensão da teoria cinética molecular, forma uma ponte para estudos baseados em experimentos e pavimenta o caminho para modelos estatísticos alternativos.

Um entendimento claro da distribuição de Maxwell–Boltzmann é essencial para estudantes que ingressam em áreas profundas da física, como a física da matéria condensada, cinética química e ciclos termodinâmicos.


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